廣義半覆蓋遠離子群與有限群的可解性*

韋華全李 敏李 姣古徽龍

(廣西大學 數學與信息科學學院,廣西 南寧 530004)

0 引言

本文考慮的群都是有限群.設G是群,用π(G)記G的階的素因子之集;若子群M在G中極大,我們記為M＜·G.

利用子群的性質研究群的結構,是重要的研究方法.其中,正規性是最重要的性質之一,由群論創始人Galois引入,它在群論結構研究中扮演了重要角色.因此,群論工作者對這種性質做了諸多推廣.其中,Gaschütz于1962年在文[1]中給出了子群的覆蓋遠離性(相應的子群稱為CAP-子群),之后有不少學者跟進研究,如文[2-6].正規性的另一種重要推廣是c-正規性,它由王燕鳴于1996年在文[7]中給出.韋華全則于2006年在文[8]中引入c#-正規性與c#-可補性,推廣了覆蓋遠離性、c-正規性和c-可補性,統一推廣了多個熟知的結果.[9-10]此外,樊惲,郭秀云,岑嘉評于2006年在文[6]中給出了子群與c-正規子群的另一種推廣——半CAP-子群(這個性質也叫作半覆蓋遠離性),獲得群結構的幾個判別準則.進一步,劉建軍于2011年在文[12]中引入半覆蓋遠離性的推廣,即子群的廣義半覆蓋遠離性(相應的子群稱為半CAP*-子群),并且利用某些極大子群的廣義半覆蓋遠離性來研究群的可解性.

本文進一步研究子群的廣義半覆蓋遠離性質對有限群結構的影響,目的是給出有限群可解的若干充分或必要條件,推廣多個新近的可解性結果.具體地說,下述定理1和定理2給出了群可解的兩個充分條件,所考慮的子群是2-極大子群;定理3獲得了群可解的一個充要條件,而考慮的子群是極大子群的Sylow子群;定理4得到了群可解的一個充分條件,考慮的子群則是3-極大子群.

1 定義及引理

設G是群.我們引用文[8]的記號如下：

定義1[8]若F p非空,S p(G)=∩{M|M∈F p};否則S p(G)=G.

若F pd非空,S pd(G)=∩{M|M∈F pd};否則S pd(G)=G.

若F od非空,S od(G)=∩{M|M∈F od};否則S od(G)=G.

定義2[2]設A是群G的子群,H/K為G的主因子.若HA=KA,稱A覆蓋H/K;若H∩A=K∩A,稱A遠離H/K;若A或覆蓋或遠離G的每個主因子,則稱A為G的CAP-子群.

定義3[7]設H是群G的子群.假如存在G的正規子群K使得G=H K且H∩K≤H G,那么H叫作G的c-正規子群,這里H G是H在G中的核.

定義4[8]設G是群,H為G的子群.稱H為G的c#-正規子群,如果存在G的正規子群K使得G=H K,并且H∩K是G的CAP-子群.

定義5[6]設G是群,H為G的子群.稱H為G的半CAP-子群,如果存在G的一個主群列使得H覆蓋或遠離這個主群列中的每個主因子.

定義6[12]設G是群,H為G的子群.稱H為G的半CAP*-子群,若有G的主列使H覆蓋或遠離列中的每個非Frattini主因子.

引理7[12]引理5.1.3,引理5.1.4設G為群,H為G的子群,并且.則

(1)如果N≤H,那么H是G的半CAP*-子群當且僅當H/N為G/N的半CAP*-子群;

(2)若(|H|,|N|)=1,H是G的半CAP*-子群,則H N/N為G/N的半CAP*-子群.

引理8[8]定理1.4.1設G為群.則

(1)S2(G)和S od(G)都是可解群;

(2)若p=maxπ(S pd(G)),則S pd(G)為p-可解的.

引理9[11]Thompson定理若群G有奇階冪零極大子群,則G可解.

引理10[7]定理3.4群G可解的充要條件是G有c-正規極大子群M使M可解.

引理11[8]定理1.4.8群G可解,若G的所有3-極大子群都是G的c#-正規子群.

引理12 設H是群G的Sylowp-子群,其中p∈π(G).則G是p-可解群當且僅當H是G的半CAP*-子群.

證明：必要性.設G是p-可解群.則對G的任意主因子A/B,A/B為p'-群或p-群.若前者成立,則(A/B)∩(HB/B)=1,有H∩A=H∩B,即H遠離A/B.若后者成立,則A/B≤HB/B,于是H A=HB,即H覆蓋A/B.故H為G的CAP-子群,當然H是G的半CAP*-子群.

充分性.設H是G的半CAP*-子群,我們要證G是p-可解群.由假設,存在主群列Γ：1=G0＜G1＜…＜G使得H覆蓋或遠離這個主群列中每個非Frattini主因子.對于任意的i,如果G i+1/G i≤Φ(G/G i),那么Gi+1/Gi可解,從而Gi+1/Gi為p'-群或p-群.如果Gi+1/Gi?Φ(G/G i),那么HG i+1=HG i或H∩G i+1=H∩G i.若前者成立,則Gi+1/Gi為p-群.若后者成立,則(HG i/G i)∩(G i+1/G i)=1,當然G i+1/G i為p'-群.因此G是p-可解群.

2 主要結果

定理1 設G是群.若對于任意M∈F od,M的極大子群皆具有廣義半覆蓋遠離性(即為G的半CAP*-子群),則G為可解的.

證明：假如定理不真,設G為反例且|G|為最小.設N為G的非單位正規子群,顯然G∕N滿足定理的條件.因此G的選擇蘊含G∕N可解.這樣G的極小正規子群唯一,記為N.這意味著,N包含在G的任意主群列中.若N≤S od(G),則由引理8知N可解,當然G可解,矛盾.所以N?S od(G),表明存在M∈F od使得G=NM.若N∩M=1,則M是G的c-正規可解極大子群,從而G可解,矛盾.下設N∩M≠1.若N∩M=M,則G=N為單群.對于M的任意極大子群M1,存在一個G的主群列,使得M1覆蓋或者遠離這個主群列中的每個非Frattini主因子.若M1覆蓋G/1,則M1G=M1,即G=M1,矛盾.所以M1必然遠離G/1,M1∩G=M1∩1,即M1=1,則M為奇素數階循環群.由Thompson定理(引理9)知,G可解,矛盾.故N∩M＜M,可取M的極大子群M1使得N∩M≤M1＜·M＜·G,N∩M=N∩M1.顯然,N/1不是G的Frattini主因子.若NM1=1·M1,則N≤M1,所以N∩M=N∩M1=N,即得N≤M,由于G=NM,此時G=M,矛盾.若N∩M1=1,所以N∩M=N∩M1=1,與N∩M≠1矛盾.

同法可證下述定理,限于篇幅,這里略去證明.

定理2 假定G為群.若對于任意M∈F2,M的極大子群都具有廣義半覆蓋遠離性(即為G的半CAP*-子群),則G為可解的.

定理3 有限群G是可解群的充分必要條件是有L＜·G,滿足L的Sylow子群都具有廣義半覆蓋遠離性(即為G的半CAP*-子群).

證明：必要性.設L是G的任意極大子群,A/B為G的任意主因子.因G可解,故對某個素數p,A/B是初等交換p-群.若B?L,則BL=AL=G.若B≤L且A?L,則AL=G.進而,(A/B)(L/B)=G/B且(A/B)∩(L/B)=1,于是A∩L=B=B∩L.若A≤L,則BL=AL=L.表明L是G的CAP-子群.由文[2,A,10.9],L的Sylow子群都是G的CAP-子群,當然L是G的半CAP*-子群.

充分性.設G是極小反例.則

(1)設N是G的極小正規子群且N含于L,則N不可解.

設N可解.則有p∈π(G),使得N為初等交換p-群.但是,G/N滿足定理的條件,故G的極小性蘊含G/N為可解的,導致G可解而定理3成立.這個矛盾表明N不可解.

(2)L G=1.

如果(2)不成立,則有G的子群N≤L使得N在G中極小正規.利用(1)及Thompson定理,|L|為偶數.令P∈Syl2(L).則有G的主列Γ：1=G0＜G1＜…＜G使得對于某個i,N∩G i+1=N且N∩G i=1,所以G i+1=NGi,即N?G i+1/G i.若Gi+1/Gi為G的Frattini主因子,則N可解,與(1)矛盾.故G i+1/G i為G的非Frattini的,有PG i+1=PG i或P∩G i+1=P∩G i,對于前者有N?G i+1/G i為2-群,當然N可解.后者有P∩N=1,所以N為奇階可解群,與(1)矛盾.

(3)設N是G的極小正規子群,則N不可解.

設N可解.則有p∈π(G)使得N為初等交換p-群.又G=LN且L∩N=1.如果p≠2,令P∈Syl2(L),則P∈Syl2(G).此時,G是2-可解群(由引理12),由此可得G可解,不可.故p=2,這樣只要素數q≠2及Q∈Sylq(L),必有Q∈Sylq(G).利用引理12,G為q-可解的.如果A/B為G的主因子,那么A/B必為若干同構單群的直積.令為A/B的某個直積因子,那么當然為q-可解的或.如果,則,這樣A/B是q-群,可得A/B可解.如果,那么必是2-群,A/B亦可解.表明無論哪種情形,G都是可解的,這與G的選擇矛盾.

(4)完成證明.

任取G的極小正規子群N,由(2)有G=LN.對于任意L的Sylow子群P,由題設,存在G的某個主群列Γ使得P覆蓋或者遠離Γ中的每個非Frattini主因子.顯然存在Γ中的主因子A/B使得B∩N=1,而A∩N=A,從而A=BN,N?A/B.由(3),A/B為G的非Frattini主因子,故PA=PB或P∩A=P∩B.前者有N?A/B≤PB/B可解,與(3)矛盾.故必有P∩A=P∩B,這樣P∩N=1.由P的任意性,有L∩N=1.下證G/N可解.

設P∈Syl2(G),且可設N包含在Γ中.設C/D為Γ中任意的非Frattini主因子,其中N≤D,則有P∩C=P∩D或PC=PD.后者顯然有C/D可解.前者有,又(PD/D)∈Syl(G/D),從而2C/D為奇階可解群,于是G/N有主群列使得每個主因子都可解,從而G/N可解.所以L為G的可解c-正規極大子群.由引理10得G可解.矛盾.

定理4 群G是可解群,若G的3-極大子群皆具有廣義半覆蓋遠離性(即為G的半CAP*-子群).

證明：設定理不真,G為一個反例且|G|為最小.對于G的非單位正規子群N,不難證明G/N滿足定理4的條件,所以G的選擇可得G/N可解.于是可設N是G的唯一極小正規子群且N?Φ(G).故N包含在G的任意主群列中.同時,G有極大子群M滿足G=NM.如果N∩M=1,那么M在G中c-正規,且因M與G/N同構,故M可解.這樣G可解,不可.所以必有N∩M≠1.

若N∩M=M,則G=N是單群,G/1是G的唯一非Frattini主因子.設T是G的任意3-極大子群.則TG=T·1或T∩G=T∩1.前者不可能成立,故必有T∩G=T∩1,即T=1.由引理11得G可解,矛盾.故N∩M＜M.

若N∩M＜·M,則N∩M的每個極大子群皆為G的3-極大子群.取T1＜·N∩M,則T1覆蓋或者遠離N/1,即

若T1∩N=T1∩1,由T1的任意性,N∩M=P為素數p階循環群.由M的極大性得N G(P)=G或M.若N G(P)=G,則由N的唯一性N=P≤M,G=NM=M,矛盾.故N G(P)=M.此時P是N的Sylowp-子群且N N(P)=C N(P).由Burnside定理,N為p-冪零群,從而N=P≤M,還是矛盾.若T1N=T1·1,則N≤T1≤N∩M＜M,矛盾.

若N∩M不是M的極大子群.故存在M的2-極大子群L2包含N∩M.于是L2∩N=M∩N.由題設,L2覆蓋或者遠離N/1,即L2∩N=L2∩1或L2N=L2·1.前者導致N∩M=1,矛盾;后者導致N≤M,也是矛盾.