對一道期末試題的拓展研究*

■單和平

2016年《數學思維訓練》期末考試最后一題：18.(1)我們熟知平面上一條直線將平面最多分成1+1=2個部分，2條直線將平面最多分成1+1+2=4個部分，3條直線將平面最多分成1+1+2+3=7個部分，…，n條直線將平面最多分成____個部分。

(2)在平面上一個三角形將平面分成2個部分，2個三角形把平面最多分成8個部分……猜想n個三角形最多把平面分成多少個部分。并證明你的結論。

(3)在平面上一個矩形將平面分成2部分，2個矩形把平面最多分成10部分……猜想n個矩形最多把平面分成多少部分。(直接寫出你的結論)

這一問題涉及用一類幾何圖形去分割另一個圖形或者空間，得到的最多區域數是有一定規律的。如何來探究出這些規律，我們往往先從最簡單的情況出發，依次遞推，盡力尋找相鄰兩個圖形之間的“增量”規律，從而建立起數列遞推式，再利用數列知識求出相應的通項公式，其中“增量”的尋求是解決問題的關鍵。下面我們從簡單問題入手，一步一步來探究這類問題的解決方法，尋求“增量”可以從具體圖形中逐步抽象概括。假設n個圖形分另一個圖形的最多區域為an。

1.點、線分割基本圖形

(1)點分直線：n個點分直線，最多分成n+1個部分。

(2)同起點的n條射線分已知角最多分成1+2+3+…+n+(n+1)=個角。

2.平面圖形分割平面區域

(1)直線分平面：n條直線把平面最多分成1+1+2+3+4+…+n=個部分。

(2)n個圓把平面最多分成n(n-1)+2個部分。

(3)n個角把平面最多分成n(2n-1)+1(n≥2，n∈N)個部分。

(4)(2018年上海交大自主招生題)n條拋物線把平面最多分成n(2n-1)+1個部分。

(5)n個三角形把平面最多分成3n(n-1)+2(n≥2，n∈N)個部分。

(6)n個矩形把平面最多分成4n(n-1)+2(n≥2，n∈N)個部分。

(7)n個五邊形把平面最多分成5n(n-1)+2(n≥2，n∈N)個部分。

(8)n個六邊形把平面最多分成6n(n-1)+2(n≥2，n∈N)個部分。

(9)n個m邊形把平面最多分成m n(n-1)+2(n≥2，m≥3，m，n∈N)個部分。

(10)n個橢圓把平面最多分成2n(n-1)+2(n≥2，n∈N)個部分。

3.平面分空間

(1)n個平面最多把空間分成個部分。

(2)n個超平面最多把時空分成an=個部分。

(3)一個三棱柱各個平面延展把空間最多分成21個部分。

(4)一個正方體各個平面延展把空間最多分成27個部分。

(5)一個直n棱柱各個平面延展把空間最多分成個部分。