一道恒成立問題的多種解法

■程建軍

恒成立問題是數學高考題中的重要題型，通常要運用導數的知識，常常出現在壓軸題的位置。這類試題處在中學數學和高等數學知識的交匯處，其知識點可以涵蓋函數的單調性與極值問題、函數的零點問題、不等式的放縮、切線問題等多方面的內容，對同學們的思維能力要求比較高。因此，探索這類問題的解法有非常高的實用價值。

題目已知f(x)=[2xlnx+m(x2-1)](x-1)且f(x)≤0，(m∈R)，求m的取值范圍。

分析：應注意到題中因式(x-1)是等價轉化的調節器。令h(x)=2xlnx+m(x2-1)，易得，從而當0＜x≤1時，h(x)≥0?當x≥1時，h(x)≤0。于是本題等價于“當0＜x≤1時，h(x)≥0，求m的取值范圍”。

解法一(分離變量法)：易知，當x=1時，h(1)=0，故只需考慮0＜x＜1的情形。分離變量得，求導得，令x2=t，則，求導得。

點評：此解法屬于通法，需要二次求導和運用洛必達法則求極限，其中有一個代換簡化計算的技巧，對同學們的知識面和計算能力要求較高。

解法二(含參討論法)：當0＜x＜1時，，可知m＜0。對h(x)求導可得h'(x)=2lnx+2+2mx，h″(x)=，從而當-1＜m＜0時，h″(x)＞0，故h'(x)在(0，1]上單調遞增。

故h(x)min=h(x0)=2x0lnx0+m-1)=-2x0(1+mx0)+=-2x0-，即，矛盾。

當m≤-1時，h'(x)=2lnx+2+2mx≤2(x-1)+2+2mx=2x(m+1)≤0，因此h(x)在(0，1]上單調遞減，由于h(1)=0，故m≤-1即為所求。

點評：此解法也屬于通法之一，需求二階導數，涉及設而不求的思想及基本不等式的運用，對同學們的思維能力和計算能力要求較高。

解法三(數形結合法，巧用柯西中值定理)：當0＜x≤1時，h(x)=2xlnx+m(x2-1)≥0恒成立?當0＜x≤1時，2xlnx≥-m(x2-1)恒成立(由于y=2xlnx在區間(0，1]上不單調，處理起來有些不方便，故繼續進行下面的轉化)。

當0＜x≤1時，恒成立

?當0＜x≤1時，s(x)=2lnx的圖像恒在上方

??x0∈(0，1)，t(x0)＜s(x0)＜0恒成立

??x0∈ (0，1)，?ξ∈(x0，1)，使得恒成立(柯西中值定理)

?m＜恒成立。

易得m≤-1。

點評：此解法將原問題轉化為兩個函數圖像的位置關系，其中用柯西中值定理進行轉化的部分完全是高等數學的范疇，當屬高觀點下的高中數學題，自然不宜介紹給同學們。不過，這個方向的探索啟發了我們去尋找更加“顯而易見”的數形結合的解法。

解法四(數形結合法)：當0＜x≤1時，h(x)=2xlnx+m(x2-1)≥0恒成立

?當0＜x≤1時，2xlnx≥-m(x2-1)恒成立

?當0＜x≤1時，2lnx≥-m恒成立當t∈(-∞，0)時，t≥恒成立

?當t∈(-∞，0)時，y=t的圖像恒在的圖像上方(圖略)。

點評：本解法中的代換化曲為直是解題的要點，避免了上一解法中用柯西中值定理去轉化的“麻煩”，可以結合圖像直觀地“看”出結論。當然的圖像實際上需要用二階導數來判斷函數的凹凸性才可以得到，所以這種解法是否可以推薦給同學們需要大家一同探討。