“黃金代換”公式的理解和運用

■劉貽斌

“黃金代換”公式是《萬有引力與航天》章節中的一個重要規律，教材中雖然沒有明確寫出此公式，但它在解決天體運動問題中有著極其廣泛的應用。下面對其做一個深刻剖析，以幫助同學們加深對它的理解。

“黃金代換”公式的得出：某中心天體的質量為M，一質量為m的物體在高空距中心天體球心的距離為R，物體所受萬有引力等于它的重力，即，則GM=gR2，因為gR2和GM可以相互替換，所以在物理學中將GM=gR2稱為“黃金代換”公式，其中R為物體距中心天體球心的距離，g為物體所在處的重力加速度。

1.利用“黃金代換”公式可以求中心天體的質量：將公式變形得，若已知g、R，則可求中心天體的質量。

例1某同學為探月航天員設計了如下實驗：在月球表面高h處以初速度v0水平拋出一個物體，測得該物體的水平位移為x，通過查閱資料知道月球半徑為R，引力常量為G，假設物體只受月球引力作用，求月球的質量M。

解：物體拋出后，在月球表面做平拋運動，在豎直方向上有，在水平方向上有x=v0t，聯立以上兩式解得月球表面的重力加速度。將“黃金代換”公式變形得。

2.利用“黃金代換”公式可以求高空某處的重力加速度：將公式變形得，若已知M、R，則可求高空某處的重力加速度。

例2(2015·重慶)航天員王亞平在“天宮一號”飛船內進行了我國首次太空授課，演示了一些完全失重狀態下的物理現象。若飛船質量為m，距地面高度為h，地球質量為M，半徑為R，引力常量為G，則飛船所在處的重力加速度大小為( )。

A.0 B

解：將“黃金代換”公式變形得，式中“R”等于R+h，因此，選項C正確。

3.“黃金代換”公式成立的條件：物體所受萬有引力等于物體重力。

例3(2016·四川)經國務院批復同意自2016年起，將每年的4月24日設立為“中國航天日”。1970年4月24日我國首次成功發射人造地球衛星東方紅一號，目前仍在空間軌道上運行，其軌道近地點高度約為440km，遠地點高度約為2060km;1984年4月8日我國成功發射的東方紅二號衛星運行在赤道上空3578km的地球同步軌道上。設東方紅一號衛星遠地點的加速度為a1，東方紅二號的加速度為a2，固定在地球赤道上的物體隨地球自轉加速度為a3，則a1、a2、a3的大小關系是( )。

A.a2＞a1＞a3

B.a3＞a2＞a1

C.a3＞a1＞a2

D.a1＞a2＞a3

解：東方紅一號衛星、東方紅二號衛星所受萬有引力等于重力，a1、a2為衛星的向心加速度，也為衛星所在處的重力加速度，將“黃金代換”公式變形得，由“R”的大小關系可知a1＞a2。a3不是物體所在處的重力加速度，因為物體在地球表面隨地球自轉時萬有引力的一個分力充當向心力，另一個分力是重力，萬有引力與重力不相等，不能用“黃金代換”公式的變形式來判斷。由公式a=ω2R，且物體與東方紅二號衛星的ω相等，結合“R”的大小關系可知a2＞a3。所以選項D正確。

4.“黃金代換”公式中的R與g有對應性：公式GM=gR2中，g與R必須是針對同一位置而言的。

例4已知地球半徑為R，地球表面的重力加速度為g，不考慮地球自轉的影響，一衛星繞地球做勻速圓周運動，運行軌道距離地面高度為h，求衛星的運行周期T。

解：選衛星為研究對象，則，又有GM=gR2，解得。

5.利用“黃金代換”公式，可把不同中心天體聯系起來。

例5(2017·海南)已知地球質量為月球質量的81倍，地球半徑約為月球半徑的4倍，若在月球和地球表面同樣高度處，以相同的初速度水平拋出物體，拋出點與落地點間的水平距離分別為s月與s地，則s月∶s地約為( )。

A.9∶4 B.6∶1

C.3∶2 D.1∶1

解：因為忽略地球自轉的影響，所以物體在地球表面受到的萬有引力等于重力，則因此。由平拋運動規律得s=v0t=選項A正確。