數學建模，讓課堂學習更智慧

趙錦

【摘 要】數學建模是數學學習的核心，是學生增長數學智慧、提升數學學習能力的重要場所，在實際教學中，教師要放手讓學生去充分經歷，完成數學抽象、豐富和拓展數學模型，并在比較和反思中建構穩固的數學模型。

【關鍵詞】數學建模;智慧;抽象;反思

數學是一門著力于培養學生思維能力的學科，在數學學習中，學生需要從錯綜復雜的現象中抽象出數學知識，在面對新的問題時想方設法去解決它們，建構出穩固而豐富的數學模型，并在學習過程中累積學習經驗，這樣才能達成學生知識和智慧的雙增長。在實際教學中，我們要推動學生的數學建模，具體可以從以下幾方面做起：

一、經歷抽象，探索模型框架

著重于領悟的數學學科需要讓學生自己面對生活現象，抽象出數學規律來，這樣在學習過程中學生就不止于接受和模仿，而是能夠用經歷支撐數學與模型。因此，在實際教學中，我們可以創設一些有現實意義的情境，讓學生從中發現問題、摸索規律，并逐步形成模型框架，從而為他們之后的數學學習奠定基礎。

例如，在“周期排列的規律”教學中，我從一個擺棋子的游戲開始，首先，在黑板上擺出一個白子，然后再擺出一個黑子，再擺一個白子和一個黑子，反復三組之后，我讓學生猜一猜：下面老師會擺一個什么顏色的棋子，很多學生認定教師會擺白子，理由是前面三組都是一個白子和一個黑子間隔排列，在學生說出白子和黑子間隔排列的規律后，我提出了新問題：照這樣的規律排列，第17個棋子是什么顏色的？學生想到了多種不同的方法來解決這個問題，有的用列舉法，有的根據單雙數判斷，還有的用除法計算，在學生交流了每種方法的算理之后，我請學生自己嘗試用黑子和白子擺出一個類似的、有規律的排列，然后算出第17個棋子的顏色，學生創造了很多不同的周期，有的用兩個白子間一個黑子三個為一組，有的以兩個黑子和一個白子為一組，還有的在每組中安排了更多棋子，在交流過程中學生發現，只要是符合這樣的周期規律排列的問題，都可以用除法計算，這樣的發現讓學生掌握了一類問題的解決方法，構建了穩固的數學模型。

在這個教學案例中，學生經歷了猜想、思考和嘗試，逐步發現周期現象的本質是每組棋子的排列順序都相同，因此，可以幾個棋子為一組，通過除法計算看余數的方法計算棋子的顏色，再由棋子發散到其他的周期現象，學生的數學模型就搭建出來了。

二、經歷整合，搭就數學模型

數學建模是學生數學學習中不可或缺的環節，也是推動學生學習走向深入的關鍵，在實際教學中，如果我們能推動學生自己的思考和整合，讓學生自己去發現、挖掘，并在整合資源過程中促成模型的表象化，那么，這樣的數學模型必然有效，也可以讓學生印象深刻。

例如，在“24時記時法”的教學中，我首先利用矛盾情境勾起了學生的交流，在很多學生的知識儲備中，他們知道一天有24小時，而時鐘轉動一圈的時間是12小時，所以在24小時內，時鐘會轉動兩圈，鐘面上的每個時刻都會在一天中重復出現兩次，那么如何避免情境中的矛盾呢？學生很自然地想到，以時鐘轉動一圈為界限，將兩圈的時間區分開來，具體的辦法是在時刻之前加上上午和下午兩個限定詞語。在學生成功解決了這個問題的基礎上，我再引導學生：能不能將一天的24小時全部記錄下來呢？學生在這個思路的指引下，自己編制了24時制的鐘面，并在1至24的旁邊對應上普通計時法中的具體時刻，達到了一目了然的效果，在此基礎上，我還引導學生在時間軸上用兩種不同的計時法將一天的24小時全部記錄下來，學生在順利完成作品之后進行觀察和比較，并發現了將24時記時法下的時刻，轉化為普通記時法下時刻和將普通計時法下時刻轉化成24時記時法下時刻的方法，完成了兩者間的橋接。

在這個教學案例中，學生由矛盾出發，尋找將24小時全部表示出來的方法，并與之前生活中常見的普通記時法進行了勾連，在他們編制24時時鐘和完成時間軸的對應過程中，學生對新的記時法有了整體的認識，并能夠將新的記時法與之前熟悉的記時法聯系起來，這樣的數學模型更加穩固，在應用模型解決相關的實際問題時，學生會發現越來越多的規律，將模型構建得更加完善。

三、經歷比較，豐富數學模型

數學模型的構建不是簡單的模仿和歸類，學生需要在充分經歷的基礎上不斷思考、嘗試和總結，這樣才能構建有效的數學模型，在模型的主體打好的基礎上，教師要提供類似的知識點讓學生辨析、比較，讓學生找到一類模型中的本質屬性，幫助他們豐富數學模型、拓展數學模型。

例如，在“按比例分配”的教學中，我從足球表面的正五邊形和正六邊形的數量出發，提供給學生這樣一個問題：一個足球表面有32塊皮，其中正五邊形和正六邊形的數量比為3：5，那么，足球表面正五邊形和正六邊形的數量各是多少？學生在分析這個問題時，結合比的含義，認定32應該被平均分成8份，其中3份是正五邊形，5份是正六邊形，所以學生用32÷（3+5）來解決問題，還有的學生將這個比進一步“加工”，找到正五邊形和正六邊形占總數的幾分之幾，直接用分數乘法計算。在肯定了學生的想法和做法之后，我提供了教材中的“試一試”讓學生鞏固練習，幫助他們搭建了初步的數學模型，在之后的教學中，我將問題做了一些改編：一個等腰三角形的兩個內角的比為2：5，那么這個等腰三角形的頂角是多少度？學生在讀題分析之后發現，等腰三角形的內角和應該是180°，這是三個內角的和，而題目中只知道其中兩個內角的比，所以首先要確定第三個角的份數，在畫圖分析之后學生發現，等腰三角形的底角可能是2份，也可能是5份，所以三個內角的比既可能是2：5：5，也可能是2：2：5，而分配的方法與之前類似。

類似的問題出現后，學生會將這些問題與之前建構數學模型的問題比較，從中發現異同，提煉出本質的東西，這樣可使學生的數學建模更充分，在實際教學中，我們需要這樣的對比和提煉，需要讓學生自己去經歷更多，從而拓展數學模型。

四、經歷反思，完善認知模型

在數學建模過程中，學生需要把握住模型的核心，這樣學生在遇到類似的問題時，可以調用數學模型中的核心分析、處理問題，在數學建模的過程中思考是重要的元素，包括反思，通過反思模型的搭建過程，學生可能會有更多發現，使模型更精準。

例如，在“認識公頃”的教學過程中，教師在引導學生認識了公頃的定義，并通過多種形式進一步建構公頃的數學模型后，引導學生反思本課的學習，提出自己的疑問，有的學生就面積單位的進率提出了問題，學生認為之前三個學過的面積單位之間的進率都是100，而公頃與平方米之間的進率是10000，是不是中間缺少了一個面積單位，在學生提出問題之后，教師引導大家通過畫圖的方法再現了之前的三個面積單位，學生發現每個正方形的邊長相差10倍，而公頃的大小是邊長為100米的正方形的大小，其邊長與平方米的邊長相差100倍，如果中間出現一個邊長為10米的正方形的面積單位，這個數學模型就比較完整，到底有沒有這樣一個面積單位呢？教師組織學生交流時，一些學生認為沒有，因為教材中沒有，一些學生則認為有，他們還為這個面積單位取名“平方十米”，最終教師出示了一個補充學習資料，帶領學生認識了“公畝”，將他們的數學模型填充完整。

總之，數學建模是數學學習中的重要一環，在實際教學中，教師要關注學生的消化吸收過程，驅動學生多元地學習，包括觀察、思考、比較等，從而幫助學生建構出穩固、多元的數學模型來，同時讓學生在數學建模中增長智慧、提升數學學習能力，讓他們的數學學習走向高效。

【參考文獻】

[1]何建童.小學數學的“數學建模”教學策略[J].數學學習與研究，2019（11）：114

[2]劉敬宇.小議數學建模的應用[J].數學學習與研究，2019（11）：22

[3]劉綠芹.“數學建模”素養的形成與提升策略探析[J].數學教學通訊，2019（15）：11-13