由一道中考題展開的復(fù)習(xí)

吳秋月

摘 要：筆者以2018年山東濱州初中學(xué)生學(xué)業(yè)考試數(shù)學(xué)試卷第19題為問題背景，在指導(dǎo)解題的過程中，展開了中考的一堂復(fù)習(xí)課.

關(guān)鍵詞：中考;問題;猜想;思路;評析

中考數(shù)學(xué)的復(fù)習(xí)課上不但要把脈、確診，還要導(dǎo)引、疏通，如何提升復(fù)習(xí)課的效率，讓復(fù)習(xí)成效最大化，成為每一位一線初中數(shù)學(xué)教師研究的重要課題.

一、問題背景

2018年山東濱州初中畢業(yè)考數(shù)學(xué)試卷第19題，如圖1，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，點E、F分別在BC、CD上，若AE=

這是一道矩形中的綜合題.看似求線段長，可學(xué)生在初解此題時卻感到無從下手.求線段的常規(guī)方法，無外非勾股定理、相似、三角函數(shù)等，為何有著一身力卻無用武之地？如何“搭橋牽線”成為解決此題的關(guān)鍵.

因輔助線的添加方法多樣，涉及到的知識多，為此筆者借此題展開了一節(jié)復(fù)習(xí)課.

二、復(fù)習(xí)簡析

（一）探究過程

將問題中的已知條件結(jié)合圖形，發(fā)現(xiàn)圖形有三個直角三角形，由勾股定理求出線段BE長，再得出EC長，但對于求AF的長有用嗎？再看看已知條件，其中“∠EAF=45°”，會想到什么？等腰三角形？特殊角三角函數(shù)？

探究1：觀察圖形，整體、局部尋突破.

問題：觀察圖形，矩形被幾條線段分割出哪些圖形？

猜想：矩形的面積可求嗎？能利用面積法找出一個代數(shù)恒等式嗎？

評析：在分析問題時，先將已知量與未知量標(biāo)注在圖形中，觀察圖形的整體與局部的關(guān)系，利用面積法找到帶有未知量的代數(shù)恒等式.

探究2：構(gòu)出一線三直角，全等、相似來幫忙.

問題：由“∠EAF=45°”構(gòu)造等腰直角三角形，還可以怎么做？

猜想：過點F構(gòu)造一個直角？

解得? ?，而后用勾股定理求AF.

評析：構(gòu)造“一線三直角”模型并滲透構(gòu)造法，培養(yǎng)學(xué)生的“無中生有”創(chuàng)造力.

探究3：手拉手來旋轉(zhuǎn)，全等呈現(xiàn)問題解.

問題：已知“∠EAF=45°”還能聯(lián)想到什么？

猜想：原圖中∠BAD=90°，∠EAF=45°，∠BAE+∠FAD=45°，可以將∠BAE與∠FAD這兩個角拼在一起嗎？

解得 ，最后用勾股定理求AF.

評析：借助旋轉(zhuǎn)，將兩個共端點、不相鄰、和為45°的角拼在一成后，即可收獲兩對全等三角形，再通過“橋梁”——過E點作NM的垂線，構(gòu)造直角三角形，問題迎刃而解.

探究4：借助直角坐標(biāo)系，由數(shù)釋形求線段.

問題：原圖若是建立在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，能解嗎？

猜想：求出線段AF的解析式？

思路：以B為原點，以BC所在直線為x軸，以BA所在直線為y軸建立直角坐標(biāo)系. 過E作EG⊥AE交AF于G點，過G作GH⊥BC于H，如圖5，先證△AEG是等腰直角三角形，

評析：建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，將幾何問題代數(shù)化，從而為形定位、定量.

探究5：問題：此題還有其他構(gòu)造相似的方法嗎？可以構(gòu)造子母形相似嗎？

（二）復(fù)習(xí)反思

本節(jié)復(fù)習(xí)課的設(shè)計是以問題為中心，結(jié)合農(nóng)村校學(xué)生的學(xué)情，引導(dǎo)學(xué)生觀察、猜想、嘗試，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)意識，將所學(xué)的知識融會貫通.最后還留個伏筆，讓學(xué)生再探討“未盡”.

中國特級教師任勇老師提出數(shù)學(xué)解題的四個觀點：解需有法，解無定法;大法必熟，小法須活;“通法”深刻，“特法”靈活;了解多法，精于一法.

筆者也深有感悟，一道數(shù)學(xué)題，由于思考的角度不同，可以得到多種不同的解法.與其在浩如煙海的數(shù)學(xué)題中掙扎，不如在一道題中尋求多種解法，實現(xiàn)會一題會一類題.特別在復(fù)習(xí)課上，如果能抓住一道題，借題發(fā)揮，或一題多解，或一題多變，或一題多用，幫助學(xué)生全方面的復(fù)習(xí)學(xué)過的數(shù)學(xué)知識、定理，促進(jìn)學(xué)生掌握相應(yīng)的數(shù)學(xué)思想、方法，形成技能、技巧，培養(yǎng)學(xué)生從多層次、多視角、全方位的研究問題、解決問題.

敢問中考復(fù)習(xí)路在何方？借題發(fā)揮試試看！

參考文獻(xiàn)：

[1]任勇.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)指導(dǎo)與教學(xué)藝術(shù)[D].北京：人民教育出版社，2005.