例說構造法

■甘肅省酒泉市肅州中學 張登虎

在數學解題的方法中，有一種叫構造法。所謂構造法就是為了解決當前的問題，從問題的結構特點出發，運用類比、聯想的思維方式和手段，使思維得到遷移，“無中生有”地創造出另一個模型，利用該模型使原問題得以巧妙解決的一種方法。由于此方法對于培養同學們的類比思維、聯想思維、創新思維有獨特的功效，并且可使解題巧妙簡明，理應引起我們的高度重視。構造法滲透在教材中，散見于各類資料中，我們應旗幟鮮明地“叫響”構造法，不必羞羞答答，遮遮掩掩。下面示范幾例，說明方法，以誘導同學們迸發出創新思維的火花。

一、構造函數

例1證明：當

證明：先證sinx＜x。構造函數f(x)=導函數f′(x)=1-成立，故函數

上為增函數，又f(0)=0，所以f(x)＞0成立，即sinx＜x。

再證x＜t a nx。構造函數g(x)=t a nx，導函數＞0成立，故函數g(x)在上為增函數，又g(0)=0，所以g(x)＞0成立，即x＜t a nx。

本題還可以構造單位圓來巧妙獲證。

二、構造方程

例2求證

證明：由此式的結構可聯想判別式Δ=，由

此題用構造向量的方法也十分簡潔，請同學們自己動手試一試。

三、構造數列

例3已知數列{an}滿足：a1=1，an+1=2an+1，求an。

解析：聯想等比數列，試圖構造一個新的等比數列{an+λ}，通過研究新數列，進而求出結果。設an+1+λ=2(an+λ)，即an+1=2an+λ，與已知條件比較，得λ=1，所以，所以數列{a+1}是首項為a+n11=2，公比為2的等比數列。所以an+1=2×2n-1=2n，所以an=2n-1。

四、構造向量

例4證明不等式a2+b2+c2≥a b+b c+c a，a，b，c∈R。

證明：由左端a2+b2+c2聯想向量的求模公式，由右端a b+b c+c a聯想向量的數量積。設m=(a，b，c)，n=(b，c，a)，由|m||n|≥m·n可證得。

五、構造四邊形

例5在平面直角坐標系中，x軸的正半軸上有3個不同點，y軸的正半軸上有4個不同點，所有這些點連成的直線在第一象限內最多有個交點。

解析：構造四邊形，四邊形的對角線的交點即為所求的交點。故所求交點個數等于四邊形的個數，即

六、構造“格子”，構造“上，右”

例6動點從(0，0)沿水平或豎直方向運動到點(6，8)，要使行駛的路程最小，有多少種不同的走法?

解析：動點只能向上或向右運動才能使路程最小，而且最小的路程為14，把動點運動一個單位看成是1步，則動點走了14步，于是問題可構造為在14個有序的格子中填寫6個“右”和8個“上”，就變成了一個組合計數問題，故一共有(種)走法。

許多排列組合問題都需要現場構造，我們總結的“插空法”“捆綁法”“隔板法”，都是構造法的產物，因此從根本上說還是要練就“構造”的本領，做到以不變應萬變。

七、構造斜率

例7求函數的值域。

解析：依函數的結構聯想斜率公式k=，得知函數表示連接點A(2，0)和P(cosx，-sinx)的直線的斜率，而動點P的軌跡是單位圓，畫出圖形，可快速求得

八、構造組合數

例8求數列{n(n+1)(n+2)}的前n項和。

解析：聯想組合數公式，可先將式子n(n+1)(n+2)改寫成組合數，n(n+1)(n+2)，然后反復使用公式就可以求得結果。

Sn=1×2×3+2×3×4+3×4×5+…