2019 年高考數列經典問題聚焦

■江蘇省口岸中學 葉阿平

2019年高考對數列主要圍繞：“等差和等比數列的通項與求和、一般數列的切入點的應用、累加法與錯位相減法求和進而求通項、公式法求和、裂項相消法求和、數列中存在性問題的探究證明及參數范圍的求解”等知識展開的，凸顯數列的工具性、應用性及創新性。

聚焦1——等差數列通項及前n項和的最值問題

例1(2019年高考北京卷文16)設{an}是等差數列，a1=-10，且a2+10，a3+8，a4+6成等比數列。

(1)求{an}的通項公式；

(2)記{an}的前n項和為Sn，求Sn的最小值。

解析：(1)設等差數列{an}的公差為d，因為a2+10，a3+8，a4+6成等比數列，所以(a3+8)2=(a2+10)(a4+6)，即(2d-2)2=d(3d-4)，解得d=2，所以an=-10+2(n-1)=2n-12。

(2)方法1：由(1)知an=2n-12，所以當n=5或者n=6時，Sn所以所以取到最小值-30。

方法2：由(1)得an=2n-12，因為所以n=5或6。即數列從第7項開始為正值，故最小×2=-30，則Sn的最小值為-30。

反思：等差數列是特殊的一次函數，可利用二次函數的性質求通項an=a1+(n-1)d=d n+(a1-d)=k n+b(n∈N*)及前n項和的最值。還可利用通項構建不等式組或確定 的值，進而求 的最n Sn值，但要注意其定義域為正整數集這一限制條件。

聚焦2——等比數列的定義、通項及前n項和的應用

例2(2019年高考全國卷文18)已知{an}是各項均為正數的等比數列，a1=2，a3=2a2+16。

(1)求{an}的通項公式；

(2)設bn=l o g2an，求數列{bn}的前n項和。

常愛蘭愛上馱子的事其實我們嶺北周村的人是不大看好的。村上的周老相公就奚落過幾次，說常愛蘭愛馱子，肯定是愛馱子的錢。馱子有錢么？周老相公就說，你們看，馱子到嶺北周村來幾年了，從來沒有回過家，那么他的錢用到哪里去，咱們村，噢，不用說村了，就是整個嶺北鎮就那么屁股點大的地方，他去哪里用錢，他一年彈棉花彈到頭了，錢肯定是有不少的。而常愛蘭呢，她有什么？她就是一個寡婦，今年寡這個，明年寡那個，寡上誰誰倒霉。

解析：(1)因為數列{an}是各項均為正數的等比數列，a3=2a2+16，a1=2，所以令數列{an}的公比為q，則a3=a1q2=2q2，a2=a1q=2q，所以2q2=4q+16，解得q=-2(舍去)或4，所以數列{an}是首項為2、公比為4的等比數列，所以an=2×4n-1=22n-1。

(2)因為bn=l o g2an，所以bn=2n-1，bn+1=2n+1，bn+1-bn=2，所以數列{bn}是首項為1、公差為2的等差數列，所以Sn=

反思：等差、等比數列各有五個基本量，兩組基本公式，這兩組公式可看作多元方程，利用這些方程可將等差、等比數列中的運算問題轉化為解關于基本量的方程(組)問題，有意識地應用等差、等比數列的性質可以簡化運算，經常采用“巧用性質、整體考慮、減少運算量”的方法解等差、等比數列問題。

聚焦3——裂項相消法求證特殊數列和不等式

例3(2019年高考浙江卷20)設等差數列{an}的前n項和為Sn，a3=4，a4=S3，數列{bn}滿足：?n∈N*，Sn+bn，Sn+1+bn，Sn+2+bn成等比數列。

(1)求數列{an}，{bn}的通項公式；

解析：(1)由題意可得解得則數列{an}的通項公式an=2n-2，其前n項和

(2)結合(1)中的通項公式進行兩次放縮

反思：通項為分式的數列求和，常選用對通項部分分式裂為兩項，然后重新將數列的每一項裂為兩項，展開后構成n-1個零，進而求出數列的和。有時需先放縮后求和證明數列不等式，如本題對分式通項cn=兩次放縮變形應注意通項成立的條件和裂項后相消項的目標意識。

聚焦4——等差與等比對應項的積構成的數列求和用“錯位相減法”

例4(2019年高考天津卷文18)設{an}是等差數列，{bn}是等比數列，公比大于0，已知a1=b1=3，b2=a3，b3=4a2+3。

(1)求{an}和{bn}的通項公式；

(2)設數列{cn}滿足求a1c1+a2c2+…+a2nc2n(n∈N*)。

解析：(1)設等差數列{an}的公差為d，等比數列{bn}的公比為q，依題意得解得故(an=3+3n-1)=3n，bn=3×3n-1=3n。

記Tn=1×31+2×32+…+n×3n，則，所以，則

反思：用錯位相減法求和應注意：(1)在寫出“Sn”與“q Sn”的表達式時應將兩式“錯項對齊”相減；(2)若公比為參數，應分公比等于1和不等于1兩種情況求解。