函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用測(cè)試題（B 卷）參考答案

一、選擇題

1.B 2.A 3.C 4.B 5.D 6.B

7.A 8.C 9.D 1 0.D 1 1.A 1 2.A

二、填空題

1 3.(—∞，2 l n2—2] 1 4.4

1 5.

三、解答題

1 7.(1)依題意知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0，+∞)，且f "(x)=

①當(dāng)a≤0時(shí)，f "(x)＞0，所以f(x)在(0，+∞)上單調(diào)遞增。

②當(dāng)a＞0時(shí)，由f "(x)=0得x=，則當(dāng)x∈時(shí)，f "(x)＞0；當(dāng)x∈時(shí)，f "(x)＜0。所以f(x)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減。

證明如下：由(1)知函數(shù)g(x)=x2—2 l nx—x。

因?yàn)閤1，x2是函數(shù)g(x)的兩個(gè)零點(diǎn)，不妨設(shè)0＜x1＜x2，故兩式相減得(x—x)(x121+x2—1)=2(l nx1—l nx2)，即x1+x2—1=

又因?yàn)間 "(x)=2x——1，所以

設(shè)t=，由0＜x＜x，得0＜t＜1。

12

令φ(t)=l nt—?jiǎng)t"(t)=φ

又0＜t＜1，所以φ "(t)＞0，所以φ(t)在(0，1)上是増函數(shù)，則φ(t)＜φ(1)=0，即當(dāng)0＜t＜1時(shí)，l nt—，從而(l nx1—

又0＜x1＜x2?x1—x2＜0，所以0， 故

1 8.(1)由題意知，f "(x)=，所以f "(0)=1。又f(0)=—，故所求切線(xiàn)方程為y+=x，即x—y—=0。

(2)令h(x)=f(x)—g(x)=—m(x＞0)，則h "(x)=，易知h "(1)=0。

當(dāng)0＜x＜1時(shí)，h "(x)＞0；

當(dāng)x＞1時(shí)，h "(x)＜0。

所以函數(shù)h(x)在(0，1)上單調(diào)遞增，在(1，+∞)上單調(diào)遞減。

所以h(x)max=h(1)=—

綜上可知，函數(shù)f(x)與g(x)的圖像在(0，+∞)上有2個(gè)交點(diǎn)。

1 9.(1)f "(x)=2x+a—≤0在[1，2]上恒成立。

令h(x)=2x2+a x—1，有即得

(2)假設(shè)存在實(shí)數(shù)a，使g(x)=a x—l nx(x∈(0，e])有最小值3，g "(x)=a—

①當(dāng)a≤0時(shí)，g(x)在(0，e]上單調(diào)遞減，g(x)min=g(e)=ae—1=3，a=(舍去)。

綜上，存在實(shí)數(shù)a=e2，使得當(dāng)x∈(0，e]時(shí)，g(x)有最小值3。

(3)令F(x)=e2x—l nx，由(2)知，F(xiàn)(x)max=3，令φ(x)=，則φ "(x)=

當(dāng)0＜x≤e時(shí)，φ "(x)≥0，h(x)在(0，e]上單調(diào)遞增，所以φ(x)max=φ(e)==3，所以?x∈(0，e]，e2x—l nx＞，即e2x2—x＞(x+1)l nx。

2 0.(1)f "(x)=—2xex+(1—x2)ex=(1—2x—x2)ex。令f "(x)=0，得x2+2x—1=0，解得x1=——1，x2=—1。令f "(x)＞0，則x∈(——1，—1)；令f "(x)＜0，則x∈(—∞，——1)∪(—1，+∞)。所以f(x)在區(qū)間(—∞，——1)，(—1，+∞)上單調(diào)遞減，在區(qū)間(——1，—1)上單調(diào)遞增。

(2)f(x)=(1+x)(1—x)ex。

當(dāng)a≥1時(shí)，設(shè)函數(shù)h(x)=(1—x)ex，h "(x)=—xex＜0(x＞0)，因此h(x)在[0，+∞)上單調(diào)遞減。又h(0)=1，故h(x)≤1，所以f(x)=(x+1)h(x)≤x+1≤a x+1。

當(dāng)0＜a＜1時(shí)，設(shè)函數(shù)g(x)=ex—x—1，g "(x)=ex—1＞0(x＞0)，所以g(x)在[0，+∞)上單調(diào)遞增，而g(0)=0，故ex≥x+1。

當(dāng)0＜x＜1時(shí)，f(x)＞(1—x)(1+x)2，(1—x)(1+x)2—a x—1=x(1—a—x—x2)，取x0=，則x0∈(0，1)，(1—x0)(1+x0)2—a x0—1=0，故f(x0)＞a x0+1。

當(dāng)a≤0時(shí)，取x0=，則x0∈(0，1)，f(x0)＞(1—x0)(1+x0)2=1≥a x0+1。

綜上可知，a的取值范圍是[1，+∞)。

2 1.(1)由f(x)=ex—a x—1，得f "(x)=ex—a。因?yàn)榍€(xiàn)y=f(x)在與y軸的交點(diǎn)A處的切線(xiàn)斜率為—1，所以f "(0)=1—a=—1，所以a=2，所以f(x)=ex—2x—1?f "(x)=ex—2。

由f "(x)=ex—2＞0，得x＞l n2；由f "(x)=ex—2＜0，得x＜l n2。

所以函數(shù)y=f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(—∞，l n2)，單調(diào)遞增區(qū)間為(l n2，+∞)。

(2)設(shè)x＞l n2，所以2 l n2—x＜l n2，由 (1)知，f(2 l n2—x)=e2ln2—x—2(2 l n2—x)

令g(x)=f(x)—f(2 l n2—x)=ex——4x+4 l n2(x＞l n2)，則g "(x)=ex+4 e—x—4≥0，當(dāng)且僅當(dāng)x=l n2時(shí)，等號(hào)成立，所以g(x)=f(x)—f(2 l n2—x)在(l n2，+∞)上單調(diào)遞增。

又g(l n2)=0，所以當(dāng)x＞l n2時(shí)，g(x)=f(x)—f(2 l n2—x)＞g(l n2)=0，即f(x)＞g(2 l n 2—x)，所以f(x2)＞g(2 l n2—x2)。

因?yàn)閒(x1)=f(x2)，所以f(x1)＞f(2 l n2—x2)。

由于x2＞l n2，所以2 l n2—x2＜l n2。

因?yàn)閤1＜l n2，由(1)知函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(—∞，l n2)上單調(diào)遞增，所以x1＜2 l n2—x2，即x1+x2＜2 l n2。

2 2.(1)由已知得f "(x)=(x＞0，k＞0)。

①當(dāng)0＜k＜2時(shí)＞k＞0，且＞2，所以x∈(0，k)時(shí)，f "(x)＜0；x∈(k，2)時(shí)，f "(x)＞0。所以函數(shù)f(x)在(0，k)上是減函數(shù)，在(k，2)上是增函數(shù)。

②當(dāng)k=2時(shí)，=k=2，f "(x)＜0在(0，2)上恒成立，所以f(x)在(0，2)上是減函數(shù)。

③當(dāng)k＞2時(shí)，0＜＜2，k＞，所以x時(shí)，f "(x)＜0；x∈時(shí)，f "(x)＞0。所以函數(shù)f(x)在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)。

(2)由題意，可得f "(x1)=f "(x2)(x1，x2＞0，且x1≠x2)，即—1，化簡(jiǎn)得4(x1+x2)=

令g(k)=，則g "(k)=1—

所以g(k)=k+在[4，+∞)上是增函數(shù)，所以g(k)≥g(4)=5，所以所以x1+x2＞

故x1+x2的取值范圍為