關(guān)于“雙零點”數(shù)量關(guān)系的探究

■(指導(dǎo)教師：劉坤)

導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)性質(zhì)的一個非常重要的工具，是學(xué)習(xí)中的重點，也是難點，在高考中占有重要的地位。在導(dǎo)數(shù)的學(xué)習(xí)中，我發(fā)現(xiàn)有一類“雙零點”數(shù)量關(guān)系問題在2016年及2018年全國新課標卷中均有所涉及，這引起了我極大的興趣。下面是我對這一類問題的一些粗淺認識，希望能給同學(xué)們一些幫助，不足之處，再商榷。

我們先來熟悉一下對數(shù)平均不等式，對數(shù)平均不等式：當a＞0，b＞0且a≠b時，

證明：不妨設(shè)a＞b＞0。要證，由于a＞b＞0，只需證lna-lnb＜，即證①。令t=，構(gòu)造函數(shù)，則f′(t)，所以f(t)在(1，+∞)上單調(diào)遞減。因此f(t)＜f(1)=0，即①式成立。

例題已知函數(shù)f(x)=xe-x(x∈R)，如果x1≠x2且f(x1)=f(x2)，求證：x1+x2＞2。

證明：由于f(x1)=f(x2)，得令，不妨設(shè)x1＜x2，則0＜t＜1。由解得

要證x1+x2＞2，只需證即證令g(t)=lnt-則所以g(t)在(0，1)上單調(diào)遞增，因此g(t)＜g(1)=0，即不等式①成立。

點評：此證法通過降元，將雙元不等式轉(zhuǎn)化為單元不等式，再構(gòu)造函數(shù)求解，體現(xiàn)了消元的思想。

變式練習(xí)：已知函數(shù)若x1，x2為f(x)的兩個極值點，且x1＜x2，求證：x1x2＜1。

證明：令g(x)=f′(x)=x+m-1-lnx，則，易知g(x)在(0，1)上單調(diào)遞減，在(1，+∞)上單調(diào)遞增。又g(x1)=g(x2)，因此0＜x1＜1＜x2。要證x1x2＜1，只需證又1)，g(x)在(0，1)上單調(diào)遞減，即證g(x1)＞又g(x1)=g(x2)，即證g(x2)＞，構(gòu) 造 函 數(shù)(x＞1)即可。

下面請同學(xué)們試一試身手，挑戰(zhàn)一下一道高考題吧!

題目(2016年新課標卷21)已知函數(shù)f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2有兩個零點。

(1)求實數(shù)a的取值范圍；

(2)設(shè)x1，x2是f(x)的兩個零點，證明：x1+x2＜2。