方法多樣化前提下的有效教學探索
——以解決比例尺的實際應用問題為例

曹傳興

（南京致遠外國語小學，江蘇南京 210000）

引 言

《義務教育數學課程標準（2011年版）》在談到第二學段問題解決的目標時明確指出：“學生能了解解決問題的多樣性，并探索分析和解決簡單問題的有效方法。”基于此，筆者在執教《比例尺的應用》一課時，做出了一些嘗試。

本課的知識目標實際上可以歸納為能通過圖上距離、實際距離、比例尺中的兩個量求另一個量。不同解法的依據就是比例尺的意義，比例尺的意義包含四個方面，除本身定義之外，教材中分別通過小青椒、小蘿卜、小番茄的描述給出（實錄中有關于這四種意義的描述，不再贅述）。根據以往的經驗，學生使用這四個意義可以想到五種不同的辦法來解決問題。但如果教師不在這五種方法之中加以比較和優化，學生在學習比例尺相關實際問題時常會遇到麻煩。

一、復習舊知，引入課題

上課伊始，筆者先出示1∶2000000的比例尺，然后詢問學生，具體內容如下。

師：同學們，這樣的比例尺表示什么意義？

生2：實際距離是圖上距離的2000000倍。

生3：圖上距離比實際距離等于1∶2000000。

生4：圖上1厘米表示實際距離20千米。

師：說得真好，如果改寫成一個線段比例尺，該如何表示呢，自己畫一畫。

在筆者的引導下，學生畫出了線段比例尺，見圖1。

圖1

【教學反思】比例尺的意義學生能否熟練掌握是決定本節課能否順利揭示各種算法的關鍵，同時也是比例尺應用的關鍵。特級教師曹培英在其《跨越斷層，走出誤區》一書中說：“培養小學生的應用意識，需要有效溝通數學知識與數學世界的聯系。”所以，上課伊始，有必要對比例尺的意義進行有效復習。

二、過渡新知，解決問題

師：我們已經學會了求一幅地圖的比例尺，如果知道一幅地圖的比例尺和圖上距離，該怎么求兩地之間的實際距離呢？請看例題，在一幅地圖上，比例尺是1∶2000000，量得甲乙兩地之間的距離是4厘米，甲乙兩地之間的實際距離是多少千米？

之后，筆者讓學生分小組合作完成題目，先讓學生獨立完成，然后在小組內交流自己的想法，最后各小組在全班同學面前分享自己的想法。小組匯報結果如下。

（1）4÷1=4，4×2000000=8000000（ 厘 米），8000000厘米=80千米。思路：因為圖上距離和實際距離的比是1∶2000000，可以用按比例分配的方法，得到實際距離是8000000厘米，化成用千米作單位就是80千米。

（2）解：設實際距離是x厘米，根據比例尺可以列出比例式1∶2000000=4∶x，解得x=8000000，再化成千米作單位就是80千米。

（4）4×2000000=8000000（厘米），8000000厘米=80千米。思路：根據比例尺的意義，實際距離是圖上距離的2000000倍，只要用4乘2000000就是實際距離了。

（5）圖上1厘米代表實際20千米，4×20=80（千米）。思路：根據比例尺的意義，圖上1厘米表示實際距離20千米，因此，只要用4×20=80（千米），就是實際距離。

筆者總結：同學們根據比例尺四個不同的意義，想出了五種不同的方法，不管是哪種方法，都緊緊抓住了圖上距離與實際距離的關系，每個人都有自己的選擇和想法，抓住比例尺的意義這一解題的關鍵，就可以正確解決類似的實際問題了。

【教學反思】基于過去的教學經驗，筆者在備課時已經預想到學生依據比例尺的不同定義可能得出實際距離的不同算法，事實上也是如此。在以往的教學中，筆者會隨后優化一些算法，如算法2、算法5，但這一次的教學并沒有如此做，因為“想克服負擔過重的現象，就得有學生自由支配的時間”，這個時間在課堂上就應該出自學生自己的想法與體驗。如果沒有充分的體驗，而由外力強加，這樣的數學學習是毫無樂趣可言的，更談不上高效[1]。

三、鞏固練習，優化算法

出示練一練1：甲、乙兩地之間相距480千米，畫在一幅比例尺是1∶4000000的地圖上，長多少厘米？

師：獨立完成，在小組內校對，并說一說自己的做法。

學生匯報如下。

（1）480千米=48000000厘米，48000000÷4000000×1=12（ 厘 米 ）；（2） 解： 設 圖 上 距 離 是x厘 米，1∶ 4000000=x∶ 48000000， 解 得x=12；（3）480千 米=48000000厘米，48000000×=12（厘米）；（4）480千米=48000000厘米，48000000÷4000000=12（厘米）；

（5）圖上1厘米→實際40千米，480÷40=12（厘米）。

師：比較一下這五種做法，你更喜歡哪一種方法？

生：第五種，因為前幾種在計算的過程中都有很多零，直接將比例尺的意義寫成圖上1厘米表示實際40千米，既簡單，又不容易錯。

出示練一練2：在一幅20∶1的設計圖上，量得一個零件長8厘米，求這個零件的實際長度。

師：獨立完成，在小組內校對，并說一說自己的做法。

學生的做法如下。

（1）圖上20厘米代表實際1厘米，8÷20=0.4（厘米）；

（2）解：設實際距離是x厘米，8∶x=40∶1，解得x=0.4。

師追問：為什么你選擇的是解比例的做法。

生：因為我發現這個比例尺是放大的比例尺，圖上1厘米表示實際距離厘米，還不如直接用解比例的方法，根據圖上距離：實際距離=比例尺來解題，列式又快又正確。

【教學反思】經過五種算法的比較之后，學生自己就產生了優化的想法。學生是否選擇使用較為簡便的方法通常有兩個決定性要素：一是盡可能少地寫一些解題步驟或文字；二是盡可能少地使用已知的數學知識經驗或數學思想方法。在前一題中，學生比較集中地選擇了方法2和方法5，方法2通過比例尺的意義來列出比例式解題，方法5優化了解題步驟，化多步單位換算為一步單位換算，均反映了學生的實際需要。筆者設計第二道題的目的在于，當學生發現方法5在使用中順手時，解比例的方法優點就被重點突出了。

比例尺應用的教學常常伴著計算、單位換算、比例尺意義的理解等問題，學生容易出現解題錯誤，教師在教學過程中往往會避繁就簡，根據自己的經驗總結出一個自認為適合學生的方法，再讓學生生搬硬套。殊不知，這已經背離了學習的本質。就像蘇霍姆林斯基在《給教師的建議》一書中指出的，“學習愿望是學生學習生活的重要動因”，方法多樣化是課堂學習氛圍的一種有效調節手段，但方法多樣化的外衣之下需要有效的教學探索。認知心理學家們也認為，問題解決一般分為四個階段：（1）問題表征；（2）確定問題解決策略；（3）執行策略；（4）評估策略。在實際教學中，教師應加以運用。

結 語

本節課從筆者讓學生自由選擇五種解題方法，到學生有目的地選擇其中一到兩種方法，最后再加以提煉與優化，將之與常用數量關系貫通，符合學生認知規律，教學效果良好。正如元認知理論認為的，確定目標，選擇認知策略，使用系統的認知加工、監控、評價過程，以及對認知策略進行必要修正（甚至改變）之中的自我監控，是問題解決和創造力的基礎。因此，實際教學中，教師應運用多樣化的教學方法，激發學生的探索欲望，進而不斷提升學生的解題能力。