《斐波那契數列與黃金分割》教學設計反思

周培紅

（福建省泉州第一中學，福建泉州 362200）

引 言

本節課是選修4-7 的內容。主要是引導學生探究斐波那契數列的部分性質，讓學生感受數學的奧妙，以激發學生學習的積極性。因為教材內容較少，筆者在課前精心準備，并收集相關材料。如何讓這節課上得更加生動有趣，關鍵在于引入環節。首先，筆者用猜數字的游戲調動學生的求知欲；其次，用斐波那契數列最經典的例子——兔子問題；最后，結合PPT 中生動的圖案引入。課堂中，筆者選取的例子極具代表性，與生活緊密結合。

一、教材內容解析

教學內容：這是人教A 版選修4-7 中的一篇拓展學習材料，以兔子繁殖問題創設情境，分析其中的數量關系，得出它的數學模型——斐波那契數列，并由具體到抽象，研究了這一數列中的遞推公式，最后引出這個數列可以產生黃金分割的近似分數列[1]。本節教材安排的目的是拓展學生知識面，幫助學生了解斐波那契數列。

教學重點：斐波那契數列的特點。

教學難點：斐波那契數列的性質及其研究。

二、學生學情分析

學生在高中數學必修五中學習了等差數列與等比數列的相關知識，對數列有一定的認識，已經掌握了數列的幾種常用分析方法，如遞推方法、迭加法、迭乘法、倒序相加法、錯位相減、分組求和與裂項相消法等。

要達成本節課的教學目標，要求學生敏銳地發現一串數字中隱含的關系，而且是深層次關系。同時，本節課對學生使用信息技術輔助數學探究性學習的能力有適當要求，特別是運用“互聯網+平板電腦”的操作，可能會受到網絡傳輸不流暢、反應較慢、操作不熟練等因素的影響。

學生數學基礎相對扎實、思維較活躍，能夠熟練運用平板電腦信息技術輔助學習，具有豐富的探究活動經驗，但在抽象概括能力和提煉總結意識上還有待進一步提升。

三、教學目標設置

（1）通過具體案例，讓學生發現生活中的數學，發現數學美，探尋生活中隱含的數學美，從而對數學美有更新的認識。

（2）通過為學生布置課后研究性學習課題，培養學生的創新意識，特殊與一般、必然與偶然的數學思想和邏輯推理的核心素養。

四、教學策略分析

（1）從三個小游戲開始，設置懸念，激發學生的學習興趣和求知欲，培養學生的文化素養，通過數學文化立德樹人。（2）游戲之后提出兔子問題，介紹兔子問題的由來，正式提出斐波那契數列，開展問題探究，層層遞進。（3）學生的自主學習能力較強，可在課前進行充分的材料收集。將學生分為三個小組，由淺到深，逐步展示他們收集的生活中的斐波那契數列。三個小組的PPT 選材很有代表性。（4）突破難點的策略是：在教學時，先從介紹斐波那契數列開始，逐步找尋數列中的性質，引導學生發現，斐波那契數列是一種極具數學美的數列。

斐波那契數列有很多讓人驚訝的性質結論，由于時間所限，只能介紹部分性質。

五、教學流程設計

（一）游戲導入

師：這節課開始前，我們先來做個游戲。(學生利用平板電腦，當場答題)

（1）觀察下列兩行數，并填空。

①1，1，2，3，5，8，13，（ ），（ ）

②2，2，4，6，10，16，（ ），（ ）

（2）請在紙上任意寫出12 個正整數，從第三個數開始每個數等于前兩個數的和。

師：剛剛我們尋找規律，現在請同學們按規律來寫數字。你們的手中已有一張紙，上面已經畫好十二個格，拿起你的彩筆按要求寫數字。（學生開始寫，教師巡視）

師：同學們只要告訴老師你的第十一個數字是什么，老師就可以猜出你的第十二個數。

（邀請兩位學生上臺展示，注意只展示給同學，老師當場驗證）

（設計意圖：以游戲導入可以使學生快速進入學習狀態，以激發學生的探究欲望，為下面的學習奠定基礎。）

（二）新課

1.兔子問題與斐波那契數列

師：剛才的游戲是不是很有趣呢？這是為什么呢？請回想剛才的幾個游戲中，填空時我們寫的12 個數字，這幾個數列有什么特點？（提問學生）

師：很好！從第三項開始，每項等于前兩項之和，這樣的數列跟斐波那契數列有關。什么是斐波那契數列呢？這就要從兔子問題談起了。

（1）介紹兔子問題與斐波那契。兔子問題是由幾個世紀前的一位叫作斐波那契的意大利數學家提出的，他在他寫的算盤書中提到這個問題。

兔子問題：假設一對初生的小兔子要一個月才到成熟期，而一對成熟的兔子每月會生一對兔子，那么，由一對初生兔子開始，12 個月后會有多少對兔子呢？

（2）斐波那契數列。

②1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，……

這就是斐波那契數列，其中的任何一個數都叫斐波那契數。

師：上課前同學們已經提前收集了斐波那契數，下面我們就請三個小組分別派代表來分享他們的成果，展示PPT。

（設計意圖：通過學生動手展示斐波那契數列與生活方面的聯系，讓學生懂得互助合作，擴展學生的視野，激發學生學習數學的興趣。時間約5 分鐘。）

師：第一小組收集的是花，生活中的花，花瓣的數目是斐波那契數，而且圖片很漂亮。第二小組收集了斐波那契螺旋線，圖片很有趣，最后來了一張美國總統特朗普的照片。第三小組收集得更深入，他們找到了斐波那契數列中數與數之間更深層次的關系，符合他們組平時的風格，很有深度。很感謝剛才三位同學的分享，說明他們很用心地準備了。（教師可以適當補充同學沒找到的有趣內容，如樹杈的數目、蘋果手機的標識等）

師：斐波那契數列被發現已經有幾個世紀之久，為什么至今人們還在研究它，它究竟有多神奇呢？一起來看視頻。

(設計意圖：通過視頻，可以讓學生了解更多斐波那契數列的性質，拓展知識，視頻約5 分鐘。)

2.神奇的斐波那契數列

（2）其余部分性質：第3，6，9 項的數字可以被2 整除；第4，8，12 項的數字可以被3 整除；第5，10 項的數字可以被5 整除……

師：通過視頻，老師列舉了幾個比較性質出來。這確實是個美麗的數列，數學家們已經發現了這個數列的不少性質，也許它還有更多性質在等待著在座的同學去發現，到時你們也會成為數學家。講了這么多性質，下面就來看看與斐波那契數列有關的題目。

3.試題中的斐波那契數列

例1：有一列數1，2，3，5，8，13，21，34，……，從第三個數開始每個數是前兩項的和，那么前1000 個數中有多少個奇數？

4.相關問題

（1）跳格游戲。

（2）連分數。

師：把連分數一直寫下去，它的結果會是什么？

（3）斐波那契數列與黃金比。

師：我們發現這些數一直繞著0.618 擺動，越來越趨近于0.618，即黃金分割常數

（設計意圖：通過逐層深入的問題，引導學生探索斐波那契數列的特性，進一步加深學生對斐波那契數列的了解，慢慢引出黃金分割比。）

5.黃金分割

師：為什么叫它黃金分割，黃金十分珍貴，黃金分割能夠體現和諧美。

（2）黃金分割的美：人體各部分的美、黃金矩形的寬長比、美麗的葉子、美麗的正五角形中的比。

師：畢達哥拉斯學派崇尚美，他們在對數學的研究中不斷發現美，他們認為美表現在數量比例的對稱與和諧中。

師：這節課我們了解了部分斐波那契數列的性質與它隱藏的美，下面我們來解密一開始的小游戲，如何知道前一個數推出后一個數。前一個數比后一個數，越來越趨近于黃金分割。

（三）小結

（1）學習斐波那契數列，并懂得利用部分性質解題。

（2）學會發現生活中的數學美。

（四）作業

（1）借助于網絡資源，探索斐波那契數列的其他特性。

（2）調查周圍的生物、藝術作品和建筑，能否找出其與斐波那契數列的聯系。

結 語

整節課的設計流程始終以學生為主體，將智慧課堂的技術融入課堂教學，采取學生自主學習、小組交流討論、上臺交流展示等形式，師生配合默契，學習氛圍和諧融洽，實現了良好的教學預期。