基于有限元方法求解帶有年齡結構的種群模型

郝永樂,左 平,朱 青

(1.周口師范學院 數學與統計學院,河南 周口 466001;2.空軍航空大學 基礎部,長春 130022)

0 引 言

在生物種群中,年齡不同將導致種群內部例如生育率、死亡率、捕食能力等方面存在明顯差異.因此,將種群按照年齡結構進行劃分的模型能更好地反映個體的生理特征以及種群擴散程度.目前,對帶有年齡結構種群模型的研究已取得了豐富的成果[1-6].偏微分方程求解數值解是近年來的研究熱點,目前對具有年齡結構數學模型的研究主要集中在解的定性理論上,而對復雜偏微分生物模型的數值求解問題研究報道較少.本文考慮帶有隨機擴散項的種群模型[7]:

1 模型處理

為了對上述模型進行數值求解,先要對模型進行適當的處理和簡化,步驟如下:

2) 對方程(1)和方程(4)關于年齡a進行積分;

3) 針對反應擴散系數進行處理[8-10],得到如下簡化系統:

(8)

其中:

(9)

表示種群在t時刻的出生率;

(10)

表示種群在t時刻的死亡率;

(11)

表示種群在t時刻、位置x處的種群總量;

(12)

2 有限元方法

下面對所提出的偏微分模型進行數值解求解.首先給出方程(8)的變分形式:

(13)

將空間區域Ω剖分成有限個單元的集合Th,形成有限元網格.在一維空間中常用等分剖分,二維空間中常用三角剖分或四邊形剖分.通常情況下,有限元方法要求網格是正規的.其次,構造有限元子空間,其由Th上所有屬于C(Ω)的、多項式次數不大于p-1的分片多項式組成的子空間Sh形成.本文的數值實驗使用等分剖分作為有限區間的網格.

制度貸款是由政府制定的一種長期低息貸款方式，其主要目的在于鼓勵農業生產。該貸款方式主要分為三種類型：一是由政府出面進行擔保，將銀行中的一些資金用于農業生產；二是由政府進行擔保和支付相應的利息費用，調用農協的資金；三是直接利用國家金融機構進行財政資金貸款。

ut(t,x): [0,T]→Sh,

使得

(14)

成立,其中u0h∈Sh是函數u0(x)在有限元空間Sh中的一個近似.注意到當有限元空間基函數給定時,式(14)為一個一階常微分方程組,稱其為半離散格式.關于半離散格式有如下誤差估計:

定理1[11]設u為問題(8)的精確解,k次有限元空間Sh滿足逼近性質:

并且初值滿足

‖u0-u0h‖+h‖u0-u0h‖1≤Chk‖u0‖k,

則半離散格式的解uh(t,x)滿足如下誤差估計:

(15)

(16)

(17)

其中:tk-1/2=tk-τk/2;fk-1/2=f(tk-1/2,x).

當k(t),μ(t),β(t)均為常數時,有如下誤差估計:

(19)

(20)

(21)

由式(19)～(21)可知結論成立.

3 數值模擬

下面利用上述差分格式對簡化后的模型進行數值求解,其中參數如下：

真解為u=e-tsin πx.

有限元方法求解問題(8)的數值解、逐點誤差及有限元方法的收斂階情況分別如圖1(A)～(C)所示.其中: 數值解與真實解在32×32網格下的誤差在10-5內;圖1(C)中“‖euh‖1”表示數值解的H1誤差曲線,“1階”表示標準一階收斂曲線,“‖euh‖”表示數值解的L2誤差曲線,“2階”表示標準誤差曲線.由圖1(C)可見,有限元方法的L2誤差滿足二階收斂,H1誤差滿足一階收斂,與理論分析結果相符.

圖1 有限元方法求解問題(8)的數值解(A)、逐點誤差(B)及有限元方法的收斂階(C)Fig.1 Numerical solution (A),pointwise error (B) and convergence order (C) of finite element for solving problem (8) by finite element method