一類dKdV方程的行波解分支

張會洋， 張克磊

(桂林電子科技大學 數學與計算科學學院，廣西 桂林 541004)

非線性發展方程在物理學、化學以及光電子學等很多領域有十分廣泛的應用，但是大多數人對該類方程的完全求解只能望而卻步。人們很多情況下只能針對一些形式簡單的特殊的非線性發展方程進行求解。KdV方程是一類很著名的非線性發展方程，對于其中經典的KdV方程很多學者給出了不同的求解方法，但是對于退化的KdV方程的研究相對較少。Rosenau和Hyman[1-2]引入退化Korteweg-de Vries(dKdV)型方程，研究其緊孤立波解的存在性。2018年，Zilburg和Rosenau[3]研究了一類dKdV方程：

?tu+?x(u?x(u?xu)+u2)=0

(1)

的孤立子的定性性質。最近，文獻[4-7]采用動力系統分支理論[8-9]研究了幾類非線性發展方程的行波解分支。目前，尚未有文獻利用動力系統分支理論研究方程(1)的行波解分支。

采用動力系統分支理論對dKdV方程(1)進行分析研究。首先，對方程(1)進行行波變換u(x,t)=φ(x-ct)=φ(ξ)，其中常數c為波速，將行波解代入式(1)可得：

-cφ′+(φ(φφ′)′+φ2)′=0。

(2)

對式(2)積分，積分常數記作g，則有

-cφ+φφ′2+φ2φ″+φ2=g。

(3)

方程(3)與下面的平面系統等價：

(4)

平面系統(4)存在奇異直線φ=0，利用dξ=φ2dτ對(4)進行變換，系統(4)變為正則系統：

(5)

系統(4)和(5)具有相同的Hamilton量：

(6)

其中h為常數。

首先利用定性理論中奇點的判別方法對系統(5)奇點的種類進行詳細分析，并利用Maple繪制出系統(5)在不同參數(c,g)下對應的相圖；然后求解出系統(1)的光滑孤立波解及周期尖波解的精確表達式。

1 系統相圖分析

首先對系統(5)的平衡點性質及可能出現的相圖進行分析。除了奇異直線φ=0之外，系統(4)的相圖與系統(5)拓撲等價，所以通過分析系統(5)的相圖即可得到系統(4)的相圖。系統(5)的相圖與參數(c,g)有關系，下面分析當參數(c,g)發生變化時，系統(5)奇點的種類以及個數。具體情況如下：

對系統(5)在不同參數(c,g)下求解得到的平衡點種類進行分析。假設系統(5)的線性化系統在奇點(φi,yi)處的系數矩陣記作M(φi,yi)。A=det(M(φi,yi))，det(M(φi,yi))表示矩陣M(φi,yi)的行列式，根據動力系統理論[8-10]可得：

1)當A<0，系統的奇點是鞍點；

2)當A>0且Trace(M(φi,yi))=0時，系統的奇點是中心；

3)當A=0且Poincaré指標為0時，系統的平衡點是尖點，否則為高階奇點。

根據以上原理可得，系統(5)的原點為高階奇點且位于奇異直線φ=0上。通過分析可得：Si(i=1,2,3,4)為鞍點；C2為尖點；Cj(j=1,3)為中心。參數(c,g)的變化決定系統奇點種類和相圖也會發生相應的變化。

系統(5)在不同參數(c,g)情況下的拓撲相圖如圖1所示。

2 系統行波解求解

系統(5)的向量場在參數(c,g)下的軌線確定了系統(1)所有的行波解，下面對系統(1)相應的周期尖波解和光滑孤立波解的精確表達式。

2.1 周期尖波解

(7)

由式(7)和式(4)第一個方程可得到系統(1)的精確周期尖波解：

(8)

2.2 光滑孤立波解

(9)

由式(9)和式(4)第一個方程可得到系統(1)的精確光滑孤立波解為

u(x,t)=φ1-(φ1-φs)D。

(10)

圖1 系統(5)在參數(c,g)上的拓撲相圖

通過式(8)和式(10)可得到系統(1)的精確周期尖波解和精確光滑孤立波解的圖像，如圖2所示。

圖2 系統(1)的周期尖波(a)和孤立波(b)

3 結束語

主要對一類退化KdV方程的行波解分支進行了分析。在分析的過程中，首先對系統(1)進行行波變換，然后根據定性理論分析這一類退化KdV方程的相圖并求解出精確周期尖波解和精確光滑孤立波解，最后通過數值模擬給出周期尖波解和孤立尖波解的圖像。