基于能量變分原理在實(shí)際工程中運(yùn)用研究

(揚(yáng)州大學(xué) 江蘇 揚(yáng)州 225100)

一、引言

彈性力學(xué)力學(xué)問題的變分原理，直接處理整個(gè)彈性系統(tǒng)，考慮系統(tǒng)的能量關(guān)系，建立泛函的變分方程，將彈性力學(xué)問題歸結(jié)為在給定約束條件下求泛函極值的變分問題。基本思想是：在所有可能解中，求出最接近于精確的解，將解的問題轉(zhuǎn)化為求解線性方程組。

本篇論文以變分原理為基礎(chǔ)解決彈性力學(xué)的三大問題：1.推導(dǎo)彈性薄板位移形式的總勢能泛函；2.利用最小勢能原理推到薄板位移形式的Euler方程和自然邊界條件；3.再利用上述推導(dǎo)出的結(jié)論，采用Ritz法求四邊固定在中心承受集中力P作用下，矩形板的撓度以及中點(diǎn)的撓度值。這三個(gè)問題的推導(dǎo)對于解決實(shí)際的工程問題有很大的幫助，因此具有很高的價(jià)值。

二、公式推導(dǎo)以及建立物理模型

(一)彈性薄板位移形式的總勢能泛函、Euler方程、自然邊界條件公式推導(dǎo)

設(shè)彈性薄板，材料彈性模量為E，泊松比為μ。承受薄板每單位面積內(nèi)的橫向荷載q(包括橫向面力及橫向體力)。可有變分原理導(dǎo)出此彈性薄板的平衡微分方程和應(yīng)力邊界條件。

彈性體的應(yīng)變能密度為：

(1)

根據(jù)小撓度薄板的彎曲假設(shè)，可忽略薄板橫向應(yīng)變：εz=γzx=γzy=0,可將(1)式展開可得：

(2)

薄板中的應(yīng)變、彎矩、剛度可以用如下公式表示出來：

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

彈性體的變形能：U=?U0dxdydz,于是薄板的變形能為:

(8)

將(3)、(4)、(5)、(6)、(7)式代入(8)式得：

(9)

因此彈性薄板的總勢能為：

(10)

對(10)式求變分，得：

(11)

將(7)式代入(11)式得：

(12)

將(11)式化簡進(jìn)一步整理得：

(13)

根據(jù)最小勢能原理，當(dāng)δ∏=0時(shí)；薄板的總勢能取得最小值。在給定邊界上，由δw在區(qū)域Ω內(nèi)的任意性可得歐拉方程：

(14)

由{M}=[D]{K}，得到用撓度表示的歐拉方程：

(15)

對公式(13)進(jìn)行討論矩形板的三種邊界條件(如圖2-1-1所示)：

圖 2-1-1

3.當(dāng)矩形板四邊自由時(shí)：此時(shí)α=0或π(α是面的法線與軸的夾角)1=0,m=±1，代入公式(13)中，得:

My=0

(16)

(17)

對公式(17)進(jìn)一步化簡整理得：

(18)

(二)采用Ritz法求四邊固定在中心承受集中力P作用下，矩形板的撓度以及中點(diǎn)的撓度值

利用上述推導(dǎo)出的結(jié)論，采用Ritz法求四邊固定矩形板(如圖2-2-1所示)在中心承受集中力P作用下，矩形板的撓度以及中點(diǎn)的撓度值。

圖2-2-1

取坐標(biāo)軸如圖2-1所示，則位移邊界條件為：(w)x =±a=0,(wx)x =±a=0,(w)y =±b=0,(wy)y =±b=0。

取撓度的一階近似式進(jìn)行計(jì)算：

(19)

(20)

將(19)、(20)式代入(12)總勢能表達(dá)式得：

(21)

對(21)式進(jìn)行化簡，并對化簡后的方程式求一階變分及二階變分得：

(22)

(23)

此時(shí)，令(22)式的一階變分等于0，即δ∏=0，由δA11的任意性得：

(24)

將(24)式代入撓度的一階近似式中得：

(25)

因此矩形板中心點(diǎn)的撓度為：

(26)

結(jié)論

與采用Ritz法求四邊固定矩形板中心點(diǎn)撓度一致，因此此過程推導(dǎo)正確，在實(shí)際工程中可以使用。