聚焦函數(shù)零點(diǎn)的應(yīng)用問題

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如果函數(shù)y=f(x)在x=a處的函數(shù)值等于零，即f(a)=0，則稱a為函數(shù)y=f(x)的零點(diǎn)，因此函數(shù)y=f(x)的零點(diǎn)就是方程f(x)=0的根。函數(shù)的零點(diǎn)把函數(shù)和方程緊密地聯(lián)系在一起。函數(shù)的零點(diǎn)是函數(shù)的一個(gè)重要性質(zhì)，在分析解題思路、探究解題方法中發(fā)揮著重要作用。

一、利用函數(shù)零點(diǎn)研究方程的根

由于函數(shù)y=f(x)的零點(diǎn)就是方程f(x)=0的根，所以在研究方程的有關(guān)問題(比較方程根的大小、確定方程根的分布、證明根的存在性等)時(shí)，都可以將方程問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，借助函數(shù)的零點(diǎn)，結(jié)合函數(shù)的圖像加以解決。

例1已知函數(shù)f(x)=(x-a)(x-b)+2(a＜b)，若α，β(α＜β)是方程f(x)=0的兩個(gè)根，則實(shí)數(shù)a，b，α，β之間的大小關(guān)系是( )。

A.α＜a＜b＜βB.a＜α＜β＜b

C.a＜α＜b＜βD.α＜a＜β＜b

解：若令g(x)=(x-a)(x-b)，顯然函數(shù)g(x)的兩個(gè)零點(diǎn)是a，b，函數(shù)f(x)的兩個(gè)零點(diǎn)是α，β，而函數(shù)f(x)的圖像是由函數(shù)g(x)的圖像向上平移兩個(gè)單位得到的，結(jié)合圖像可知a＜α＜β＜b。故選B。

二、判斷方程是否存在實(shí)根

例2判斷方程x3-x2+1=0在區(qū)間[-1，0]內(nèi)有沒有實(shí)根，并說明理由。

解：設(shè)f(x)=x3-x2+1，則f(x)的圖像是一條連續(xù)曲線。

f(-1)=(-1)3-(-1)2+1=-1＜0，f(0)=03-02+1=1＞0，故f(-1)·f(0)＜0。

所以f(x)在區(qū)間[-1，0]內(nèi)有零點(diǎn)，即方程x3-x2+1=0在[-1，0]內(nèi)有實(shí)根。

點(diǎn)評(píng)：要判斷方程f(x)=0是否存在實(shí)根，若無法直接求出根可判斷對(duì)應(yīng)的連續(xù)函數(shù)y=f(x)的圖像是否與x軸有交點(diǎn)，即只要看能否找到圖像上的兩點(diǎn)，滿足一點(diǎn)在x軸上方，另一點(diǎn)在x軸下方即可。

三、求參數(shù)的取值范圍

例3已知函數(shù)f(x)=2mx+4，若在[-2，1]上存在x0，使f(x0)=0，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是( )。

解：因?yàn)閒(x)在[-2，1]上存在x0，使f(x0)=0，則f(-2)·f(1)≤0，所以(-4m+4)(2m+4)≤0，解得m≤-2或m≥1。故選B。

點(diǎn)評(píng)：一次函數(shù)具有性質(zhì)：設(shè)在給定區(qū)間[a，b]上的一次函數(shù)y=f(x)，則：①f(x)恒大于零?f(a)＞0且f(b)＞0;②f(x)恒小于零?f(a)＜0且f(b)＜0;③f(x)恒正或恒負(fù)?f(a)·f(b)＞0;④f(x)有正有負(fù)?f(a)·f(b)＜0。

四、利用函數(shù)零點(diǎn)解不等式

我們知道，二次函數(shù)的圖像是連續(xù)的，當(dāng)它通過零點(diǎn)(不是二重零點(diǎn))時(shí)，函數(shù)值變號(hào)，并且在任意兩個(gè)相鄰的變號(hào)零點(diǎn)之間函數(shù)值保持同號(hào)，根據(jù)二次函數(shù)變號(hào)零點(diǎn)的這一性質(zhì)，可以求解二次不等式。

例4二次函數(shù)y=ax2+bx+c的部分對(duì)應(yīng)值如表1，則不等式ax2+bx+c＞0的解集是_____。

表1

解：由表中數(shù)據(jù)可知函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)分別為-2和3，這兩個(gè)零點(diǎn)將其余實(shí)數(shù)分為三個(gè)區(qū)間：(-∞，-2)，(-2，3)，(3，+∞)，在區(qū)間(-∞，-2)中取特殊值-3，由于f(-3)=6＞0，因此根據(jù)二次函數(shù)變號(hào)零點(diǎn)的性質(zhì)可得：當(dāng)x∈(-∞，-2)時(shí)，有f(x)＞0；當(dāng)x∈(-2，3)時(shí)，有f(x)＜0；當(dāng)x∈(3，+∞)時(shí)，有f(x)＞0，故不等式的解集為(-∞，-2)∪(3，+∞)。