你若探究 花自盛開
——對一道高考解析幾何題的探究

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在解完2018年全國Ⅰ卷理科數學第19題后，筆者得到了橢圓中的等角性質，并將其性質拓展推廣到其他的圓錐曲線中，在追溯其命題背景之后，又發現了圓錐曲線中等角性質的更一般形式，現分析如下。

一、試題呈現

題目(2018年全國Ⅰ卷理科數學第19題)設橢圓的右焦點為F，過F的直線l與C交于A，B兩點，點M的坐標為 2，0( )。

(1)當l與x軸垂直時，求直線AM的方程；

(2)設O為坐標原點，證明：∠OMA=∠OMB。

評注：本題考查橢圓的標準方程及其幾何性質、直線的方程、直線與橢圓的位置關系、斜率、韋達定理、等角的證明等基礎知識，考查學生的推理論證能力、運算求解能力，以及綜合運用所學知識分析問題和解決問題的能力，考查數形結合思想、分類討論思想、化歸與轉化思想。立意深刻、內涵豐富，具有一定的典型性，極具探究價值。

二、試題解答

圖1

三、拓展推廣

1.在橢圓中的一般化推廣

從上面的證法可知，對于一般的橢圓，只要M點為橢圓的右準線與x軸的交點，那么上述性質一定成立，即：

定理1：已知橢圓0)的右焦點為F，過F的直線l與橢圓C交于A，B兩點，則 有 ∠AMF=∠BMF。(證法同上面的證法一樣)

在上述定理中，我們發現焦點F與定點M的橫坐標之間存在一定的聯系，即乘積等于定值a2，那么，若將F點換成一般的點P(m，0)，保證P，M兩點的橫坐標的乘積為定值a2，是否又有類似的性質呢?筆者借助GeoGebra軟件進行探究，得出如下結論：

定理2：已知橢圓0)，P(m，0)(-a＜m＜a且m≠0)是橢圓C內一點，過P點的直線l與橢圓C交于A，B

證明：當設直線AB與x軸重合時，結論顯然成立。

當設直線AB與x軸不重合時，設直線AB的方程為x=ty+m，A(x1，y1)，B(x2，y2)，將x=ty+m代入橢圓C的方程得(t2b2+a2)y2+2tmb2y+(m2-a2)b2=0，則，故，則有∠AMP=∠BMP。兩點

從而得直線AM與直線BM的傾斜角互補，所以∠AMP=∠BMP。

定理3：已知橢圓0)，P(m，0)(m＞a或m＜-a)是橢圓C外一點，過P點的直線l與橢圓C交于A，B兩點，則 有 ∠AMP=180°-∠BMP。(證明過程同定理2)

在定理3中，將直線l繞著P點旋轉，當A，B重合時，∠AMP=∠BMP=90°，此時AM⊥x軸，直線l與橢圓C相切，于是我們進一步得出結論：

推論1：已知橢圓P(m，0)(m＞a或m＜-a)是橢圓外一點，過點作x軸的垂線，交橢圓C于A，B兩點，則直線PA，PB與橢圓C相切。(如圖2)

2.在雙曲線、拋物線中的推廣

圖2

類比橢圓，在雙曲線、拋物線中是否有類似的結論呢?筆者又借助于GeoGebra軟件進行了探究，得出以下結論：

定理4：已知雙曲線0，b＞0)，P(m，0)(m＞a或m＜-a)是雙曲線C內一點，過P點的直線l與雙曲線C交于A，B兩點，若A，B位于雙曲線的同一支，則有∠AMP=∠BMP；若A，B位于雙曲線的不同支，則有∠AMP=180°-∠BMP。

定理5：已知雙曲線0，b＞0)，P(m，0)(-a＜m＜a)是雙曲線C外一點，過P點的直線l與雙曲線C交于A，B兩點若A，B位于雙曲線的同一支，則有∠AMP=180°-∠BMP；若A，B位于雙曲線的不同支，則有∠AMP=∠BMP。(定理4、定理5的證明與定理2的證明過程類似，此處從略)

推論2：已知雙曲線0，b＞0)，P(m，0)(-a＜m＜a)是雙曲線C外一點，過點且與x軸垂直的直l線與雙曲線C交于A，B兩點，則直線PA，PB與雙曲線C相切。

定理6：已知拋物線C：y2=2px，P(m，0)(m＞0)是拋物線C內一點，過點P作直線l與拋物線C交于A，B兩點，M(-m，0)，則∠AMP=∠BMP。

證明：設直線AB：x=ty+m，A(x1，y1)，B(x2，y2)，將x=ty+m代入拋物線C的方程得y2-2pty-2pm=0，則y1+y2=2pt，y1y2=-2pm，所以從而直線MA，MB的傾斜角互補，所以∠AMP=∠BMP。

定理7：已知拋物線C：y2=2px，P(m，0)(m＜0)是拋物線C外一點，過點P作直線l與拋物線C交于A，B兩點，M(-m，0)，則∠AMP=180°-∠BMP。

推論3：已知拋物線C：y2=2px，P(m，0)(m＜0)是拋物線C外一點，過點M(-m，0)與x軸垂直的直線l與拋物線C于A，B兩點，則直線PA，PB與拋物線C相切。