對一個幾何結論的深入研究

■(指導教師：褚人統)

課堂上很多老師會有意無意地留下一些問題，讓同學們自己去深挖、探究。其實，這倒是同學們去探究知識從而獲得科研能力的好機會。本文就是筆者一次認真的探究過程，與讀者共享。

一、老師留下了一個問題

在坐標幾何中，如何求點關于一條直線的對稱點的話題是個很重要的話題。筆者的數學老師在課堂教學中對這一問題只針對一般情況下的求法做了詳細的解答。

已知點P(m，n)，它關于直線l：Ax+By+C=0(A2+B2≠0)對稱的點P′(x0，y0)。為求P′(x0，y0)，可以通過直線PP′與直線l垂直、及線段PP′的中點在直線l上這兩個關系列出方程組；即當A≠0時，方程組就是且+C=0，解出x0、y0就可以了；當A=0時，直線l是平行于x軸的直線，對稱點比較顯然，是容易求的。

不過，老師又留下了一個使我們如墜云霧里的問題：當對稱軸直線l比較特殊時候，即直線傾斜角是時，求對稱點就不用上面的一般方法進行大量計算了，只需畫一下圖像看一看就能找出來的。老師還說：在重要的考試中，尤其在高考中，如果出現需要求對稱點的，那么，相應的對稱軸(肯定地認為)一定是屬于上述四類直線的。

二、問題的深刻分析

真的嗎?老師輕描淡寫的話，我卻已經記在心里了，這是一個怎么樣的“看一看就能找出來”的呢?

當直線l的傾斜角是0或時，直線l與x軸平行或垂直，對稱點一目了然，問題不大；當直線l的傾斜角是時，怎么能輕松地從圖中看出來呢?

在一次自習時間，我拖住了老師想問個究竟。老師只給了下面的具體做法，還說這樣做可以是“公式化”了。我問：為什么這樣?老師卻說是經驗使然(可能不想說)。

點P(m，n)關于直線l：y=x+b對稱的點是P′(n-b，m+b)；同理，點P(m，n)關于直線l：y=-x+b對稱的點是P′(-n+b，-m+b)。

我很愕然!老師還說了這結論其實很容易理解的，理解了自然就記憶了!親愛的讀者，您理解了嗎?記憶了嗎?

三、恍然大悟

這結論怎么來的呢?在同學們通力合作下，問題得以解決了。先看點P(m，n)，它關于直線l：y=x+b對稱的點為何是P′(nb，m+b)? 如圖1：過P點作x軸的垂線、平行線分別交直線l于Q1、Q2，再 過Q1、Q2作x軸的平行線、垂線，交點為P′。得Q1、Q2的坐標分別為Q1(m，m+b)、Q2(nb，n)，推得P′(n-b，m+b)。由于直線l的傾斜角是，從而，矩形PQ1P′Q2是正方形，這樣對角線PP′與Q1Q2互相垂直，從而，P′(n-b，m+b)就是P(m，n)關于直線l：y=x+b的對稱點。

圖1

同理可以證得另一個結論，上述過程也揭示了：當直線的傾斜角不是時，這樣作圖得到的矩形不是正方形，那么，就無法用上面的幾何方法去求對稱點了，如果要求的話，只能按照本文開頭的一般方法去求了。