體驗一題“多味”的解題過程

■(指導教師：張麗君)

從小學到現在的高中，常聽老師引用一個案例：猴子與人類有什么區別，區別就在于人類比較聰明并且有豐富的情感，例如，要摘下樹上的桃子，人類就能夠借助工具如棒子等把桃子敲打下來，而猴子只能自己爬上樹摘下桃子。這個例子告訴我們，做任何事情都可以借助外圍的力量或工具來解決面臨的困難。爬樹摘桃子是自然的方法，而采用工具摘桃子就是簡便的方法。我們解決數學問題時難道不也是這個道理嗎!

例題如圖1，在等腰 △ABC中，AB=AC，D在線段AC上，且AD=kAC，k∈(0，1)，k為 常 數，BD為 定長m，則△ABC面積的最大值為____，此時AB的長為_____。

圖1

總體分析：這些變化的三角形有兩個約束條件，①AD=kAC，k∈(0，1)，k為常數；②BD為定長m。這兩個約束條件與整個三角形的面積計算沒有直接聯系，這需要我們尋找已知的條件與面積計算所需要的因果聯系。

一、“青澀”的自然解法

要尋找已知條件與面積計算所需要的參量聯系，第一個自然而淺顯地會想到如果設AB=t，就可以得出△ABD的三邊，面積容易求出，即由，得sinA=，所以S△ABD=即當且僅當AB=t=時等號成立。

注：在剛剛學習了解三角形的知識后，我們一般會采用上面這樣的解法。這種解法的產生是一種自然的、原始的，是沒有什么深刻思考與加工的結果。可是，在化簡sinA=的過程中，運算量大，對于我們這些高二年級的學生來說，一般是難以得出的。所以，方法自然固然好，可是它實在像青蘋果那樣太青澀了!不過，自然的方法還是好的，畢竟方法涌出早、構思時間短，計算量雖然大總還有解出答案的希望。

二、迂回的平面幾何解法

如圖2，作線段ED∥BC交AB于E點，得△EOD≌△BOC且得BO(定長)，當且僅當sin ∠BOC=1 時 等 號 成 立，S△ABC≤此時由面積公式算出△ABC底邊的高為從而算出AB的長為

圖2

注：這里計算量與前一方法比較，屬于中度量，就是走的路有點迂回曲折，尤其計算AB長時需要一點工夫。

三、清楚簡便的坐標系方法

圖3

注：在三角形的平面上建立一個坐標系，就能把內在關系清晰地表達或揭示出來了，使得要計算的目標與條件掛鉤更順利，這就是使用坐標系這個工具的優勢所在。

四、幾點體驗

讀者可能要提出一個問題：怎樣來選擇方法使解法自然或更簡便呢?依據筆者的經驗，要簡便解答數學難題，首先，多做數學難題，做多了，積累多了，好方法自然會出來，在做題的過程中才會體驗辨別出簡便的方法與麻煩的方法；其次，基礎好的讀者每一學年應該擁有一本數學的專題講座資料，特別是特級教師編著的書，不是復習用書或地毯式練習類型的，是精選試題而多解的那一類，對這一本書要精讀研磨，提高自己的解題水平；再次，在做難題的時候，審題要“站得高看得遠”，對試題解決方向作一個大的分析與思考，腦子出現的第一種解題方法完成估計一下需要多少“路程”與計算量，還有沒有第二種解題方法可以解嗎?第二種解題方法又需要多少“路程”或計算量呢?做一個簡短的比較，選擇好方法。