關注思維起點　讓學習真實發生

梁淑媛　孟宜安

【摘要】本文摘錄了一節高三復習課的主體片段，旨在闡述教師如何在課堂上關注到學生思維的起點，而不是見題解題;在課堂上如何讓學生的思維得到提升，讓學生的學習真實發生，進而形成和發展數學核心素養.

【關鍵詞】思維起點;數列通項公式;核心素養;真實學習

【基金項目】本文系北京市教育科學“十三五”規劃2017年度一般課題：依托工作室提升數學教師數學教育理論素養的研究（CDFB17343）研究成果之一.

新課程理念強調以學生為主體，得到了廣大教師的認可，大多數課堂教學都注意引導學生思考，讓學生學會解決問題.但教學中常常有這樣的現象：學生解題遇到障礙，教師及時點撥，學生茅塞頓開，然后學生投入到后續的解題之中.學生熱情高漲，積極思考，自始至終都在動腦動手，不時還有激烈的爭論，最后多數學生得出正確的結論.這樣的一節課下來，教師講得清清楚楚，學生聽得明明白白，如此高效的課堂，學生解題能力應當很高才對，而事實是，當學生自己做題時還是不會，有時講幾遍的題考試時仍然做錯.為什么會這樣呢？一個重要的原因是我們忽視思維的起點，思維的起點往往就是學生思維的障礙.他們不是不知道，而是想不到，你提示，他們就能明白，接下來的推理比較簡單，他們會迅速完成，完成之后還會有一絲的成就感，表面看，他們懂了、會了、掌握了，但由于思維起點是教師提示的，因此，他們只知道了一個數學解題法，思維并沒有增進，當面對其他問題時仍不知道如何處理.

課堂教學的效果，取決于教師對教學的理解，取決于教師把教育理念、教學思想物化為教學行為的能力，取決于學生的學習探究活動真實發生.這是我聽完一節視導常態課后的感受，這是高三復習數列中求通項公式的第二節課，節選部分教學過程如下：

題1 對數列{an}，已知a1=1，an+1=3an+2，求數列{an}的通項公式.

學生探究1：

寫出數列的前幾項：1，5，17，53，161，…不容易歸納出通項.

學生探究2：

兩邊同時加1，右邊提出3，得到an+1+1=3（an+1），

所以數列{an+1}是a1+1為首項，3為公比的等比數列.

教師變式：a1=1，an+1=4an+58.

學生探究2的方法，觀察不出兩邊加幾了，教師引導：所以剛才兩邊都加1是機緣巧合，還要找通法，回到上一個題再看：數列{an+x}是以a1+x為首項，3為公比的等比數列，寫出an+1+x=3（an+x）an+1=3an+2x，所以2x=2，x=1.教師關注了這樣的思維起點，學生也不是僅僅會解一道題，學生順利寫出變式：數列{an+x}是a1+x為首項，4為公比的等比數列，寫出an+1+x=4（an+x）an+1=4an+3x，所以3x=58，x=524，學生此時熱情很高，感覺真的有了.

知識方法的生成，重在“自然”，所謂的自然生成是，教師關注思維的起點，指明研究的主要方向，以學生的生成為主，通過學生的思考、合作交流，順其自然的發現一些有價值的規律、定理等.本題的推導過程并不復雜，關鍵是思維的起點，而思維的起點正是“為什么這么想”的問題，所以該題目的處理側重解題思路對學生思維的觸發作用，多給學生提供激活思維的機會，逐步積累學生的數學活動經驗，數學素養的培養不是刻意的，而是在學生感知、感受、體驗、思考而自然形成的，只要揭示數學的本質，按照數學知識及數學思想方法發生、發展的規律教學，數學素養的培養也就在其中了.

題2 對數列{an}，已知a1=1，an+1=2anan+2，求數列{an}的通項公式.

學生探究1：

寫出數列的前幾項：1，23，12，25，13，….學生很快調整成：22，23，24，25，26，….

從而歸納出an=2n+1.這是不完全歸納得到的，如何證明，師生簡單地回憶一下數學歸納法，沒有展開.

學生探究2：

兩邊都取倒數：1an+1=an+22an=12+1an，1an+1-1an=12.

數列1an是1a1為首項，12為公差的等差數列，1an=n+12，∴an=2n+1.

很多同學都是恍然大悟，這種方法很快呀，取倒數的目的是讓右邊的分式分母是單項可以裂項，我以為學生對此有了深一層的反應，是思維深化的表現，可是學生說出了自己新的困惑：我自己是想不到這種變形.這個疑問在其他同學中產生了共鳴，有的沉默思考，有的相互交流，幾分鐘后，陸續有同學說出了自己的想法.

學生探究3：

因為右邊是分式，最容易想到的是把分母乘過來，得到二次三項式：

an+1an+2an+1=2an，在教師的提示下，大部分學生聯想到了形如這樣二次三項式的處理辦法，兩邊同除以二次式，得到：2an+1-2an=1（或1an+1-1an=12），回到探究2一樣的結果.

這種解法雖不是最智慧的簡捷解法，但符合大多數學生的思維習慣，在對得到的整式處理上又開闊了一部分同學的解題視野，相比之下學生更容易入手.教學中首先要順應學生的思維習慣，幫助學生學會思考，同時還要不斷發展學生的思維，用新的方法、新的思想豐富學生的思維，促進學生不斷更新、完善自己的認知結構，讓學生的學習真實發生，沒有方法不可怕，不會思考才可怕.

題3 對數列{an}，已知a1=12，an=-2snsn-1（n≥2），求證：數列1sn是等差數列.

學生的目標性很強，要證明的結論就是目標，所以去掉an，得到：n≥2，sn-sn-1=-2snsn-1，學生都會處理這個二次三項式了.

高三的復習課，尊重學生的認知基礎，首先要清楚學生知道什么不知道什么，教學設計一定要尊重這個事實，不能掩耳盜鈴，一廂情愿.本節課就沒有就題給模型，而是把關注學生思維的起點作為本節課的核心所在，也是價值所在.在題2的探究3中，符合學生思維起點整理到二次三項式，這是學生熟悉的，然而熟悉的結論在陌生的情境下沒有喚起記憶，這說明學生的能力尚有欠缺，能力欠缺的原因是教師沒有提供足夠的、有價值的訓練素材，因此，教師必須善于創造和把握機會，為學生提供觸動聯想的好問題，沒有好的問題，數學素養的培養就是一句空話.所以該教師在看到題2的探究3中學生處理二次三項式時產生的問題，及時拋出了題目三，恰當的時機給學生提供了有價值得訓練素材，高三教學不能僅僅是知識的回歸，要深化理解知識體系;不能僅僅是題型的總結歸納以及機械重復的訓練，要突出問題的分析，突出學生的思維過程，要讓學生領悟方法的內涵，達到靈活運用的目的.

【參考文獻】

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