淺析一類共點線的向量證法

張三華

【摘要】本文用向量法證明了線共點分線段成定比的共點線問題和有垂直條件的共點線問題.這種方法簡單，易于理解，計算量少.

【關鍵詞】共點線;向量法;定比;垂直

共點線就是一些直線通過同一點，一般是證明三線共點，因為四條或四條以上的線共點問題可以轉化為三線共點的問題.關于共點線的證明方法有：轉化為三點共線、利用兩線交于一點，其余的線也通過該點、利用已知的三線共點、利用Ceva定理等.本文利用向量的方法證明三線共點，方法簡單，易于計算，不容易出錯.

一、線共點分線段成定比的共點線的向量證法

線共點分線段成定比是指通過同一點的線段被該點分得的線段之比為定比，比如，空間四邊形三對對邊的中點的連線共點，且互相平分，即共點分得的線段之比為1∶1;三角形三條中線共點，共點自頂點起分線段為2∶1，等等.對這類共點線的證明，可以轉化為證明點重合，再轉化為證明有共同起點向量相等，從而解決問題.

例1 設四面體A1A2A3A4的每一個頂點Ai（i=1，2，3，4）的對面三角形的重心為Gi，試證A1G1，A2G2，A3G3，A4G4共點H，并且AiH=3HGi（i=1，2，3，4）.

證明 如圖1所示，在線段AiGi上取點Hi，使得AiHi=3HiGi（i=1，2，3，4），在空間取異于Ai，Hi，Gi（i=1，2，3，4）的一定點O，因此，有

二、有垂直條件的共點線的向量證法

兩條互相垂直的線段，可以轉化為互相垂直的向量.互相垂直的向量的數量積等于零，利用這個性質找到證明共點線所需條件，從而達到證明共點線問題.比如，三角形三條高線共點就可以用這種向量法進行證明.此方法思路便于理解，形象具體，計算量少.

例2 證明：△A1A2A3三邊A1A2，A2A3，A3A1的垂直平分線分別為B3H3，B1H1，B2H2，其中B1，B2，B3是三邊的中點，試證B1H1，B2H2，B3H3共點.

圖2

證明 如圖2所示，設△A1A2A3的邊A1A2，A2A3的垂直平分線交于點H，由題意知點，B1，B2，B3分別是邊A2A3，A3A1，A1A2的中點，連接HB2，HA1，HA2，HA3，于是有HB1⊥A2A3，HB3⊥A1A2，即HB1·A2A3=0，HB3·A1A2=0，

【參考文獻】

[1]呂林根，許子道.解析幾何（第四版）[M].北京：高等教育出版社，2006.

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