微分中值問題中輔助函數構造的再探討

龍志文

【摘要】微分中值定理是微分學中的重要定理，也是各類考試所青睞的內容之一.借助微分中值定理解決相關問題的關鍵在于構造合適的輔助函數.本文利用常微分方程相關理論，給出了微分中值問題中輔助函數構造的一個新方法，分兩種情形進行了討論，并給出了相應的實例說明其應用.該方法具有思路比較簡單、應用范圍較廣的特點.

【關鍵詞】輔助函數;通解;特解;羅爾中值定理

微分中值定理是微分學中的基本定理，是連接函數及其導數的一座橋梁，其應用是各類考試的常考內容.應用微分中值定理的關鍵是構造相應的輔助函數，而輔助函數的構造往往具有較強的技巧性，并非易事.文獻[1]介紹了分析法、嘗試法、待定系數法、幾何法、積分法等五種常用的輔助函數構造方法，這些構造方法使用靈活，有較高的技巧性，且使用范圍不是特別廣泛.本文利用常微分方程相關理論，給出了輔助函數構造的一個新方法，盡管其操作起來可能不是十分簡單，但思路卻相對比較簡單，且應用較廣.現通過具體的例子介紹如下.

一、題設中含有邊界條件等條件的情形

例1 設f（x）在[0，1]上連續，在（0，1）上可導，f（0）=f（1）=0，f12=1.

求證：ξ∈（0，1），使得f′（ξ）=1.

分析 先把f′（ξ）=1轉換為f′（x）=1，然后求解該微分方程，易得其通解為f（x）=x+c（其中c為任意常數），易檢驗其通解不滿足全部的邊界等條件，但易知取特解f1（x）=x滿足f（0）=0，為此我們可以構造輔函數g（x）=f（x）-f1（x）=f（x）-x，且只需找到區間[x1，x2][0，1]，使得g（x1）=g（x2），然后應用羅爾中值定理即可.

證明 令g（x）=f（x）-x，則

g（0）=f（0）-0=0，

g12=f12-12=1-12=12>0，

g（1）=f（1）-1=0-1=-1<0.

易得η∈12，1，使得g（η）=0.從而有g（0）=g（η）=0.

又易知g（x）在12，1[0，1]上連續，在12，1上可導，在12，1上應用羅爾中值定理，則

ξ∈12，1，使得g′（ξ）=0，即有f′（ξ）=1.

例2 設f（x）在[0，1]上二階可導，且f（0）=f（1），f′（1）=1.

求證：ξ∈（0，1），使得f″（ξ）=2.

分析 先把f″（ξ）=2轉換為f″（x）=2，然后求解該微分方程，易得其通解為f（x）=x2+c1x+c2（其中c1，c2為任意常數），易檢驗其特解f1（x）=x2-x滿足f（0）=f（1），f′（1）=1，為此我們可以構造輔函數g（x）=f（x）-f1（x）=f（x）-x2+x，且只需找到區間[x1，x2][0，1]，使得g′（x1）=g′（x2），然后應用羅爾中值定理即可.

證明 令g（x）=f（x）-x2+x，則

g（0）=f（0）-0=f（0），g（1）=f（1）-12+1=f（1），

g′（1）=f′（1）-2+1=0.

由f（0）=f（1）知g（0）=g（1），又易知g（x）在[0，1]上二階可導，故η∈（0，1），使得g′（η）=0，再結合g′（1）=0，進而有：ξ∈（0，1），使得g″（ξ）=0，從而有f″（ξ）=2.

例3 設f（x）在[a，b]上連續，在（a，b）上可導，且f（a）=0（a>0），求證：ξ∈（a，b），使得f（ξ）=b-ξaf′（ξ）.

分析 先把f（ξ）=b-ξaf′（ξ）轉換為f（x）=b-xaf′（x），然后求解該微分方程，易得其通解為f（x）=c（b-x）-a（其中c為任意常數），易檢驗不存在非零特解滿足f（a）=0，由u（x）v（x）′=u′（x）v（x）-u（x）v′（x）v（x）2得到啟發，選取一個簡單的特解f1（x）=（b-x）-a（取c=1），我們可以考慮構造輔助函數g（x）=f（x）f1（x）=（b-x）af（x）.

證明 令g（x）=（b-x）af（x），則

g（a）=（b-a）af（a）=0，g（b）=（b-b）af（b）=0，

由題意，在[a，b]上對g（x）應用羅爾中值定理即可.

例4 設f（x）在[a，b]上連續，在（a，b）上可導，且f（a）=f（b）=0，求證：對λ∈R，ξ∈（a，b），使得f′（ξ）+λf（ξ）=0.

分析 先把f′（ξ）+λf（ξ）=0轉換為f′（x）+λf（x）=0，然后求解該微分方程，易得其通解為f（x）=ce-λx（其中c為任意常數），易檢驗不存在非零特解滿足f（a）=f（b）=0，由u（x）v（x）′=u′（x）v（x）-u（x）v′（x）v（x）2得到啟發，選取一個簡單的特解f1（x）=e-λx（取c=1），我們可以考慮構造輔助函數g（x）=f（x）f1（x）=eλxf（x）.

證明 令g（x）=eλxf（x），則

g（a）=eλaf（a）=0，g（b）=eλbf（b）=0.

由題意，在[a，b]上對g（x）應用羅爾中值定理可得：ξ∈（a，b），使得eλξf′（ξ）+λeλξf（ξ）=0，又eλξ≠0，進而有f′（ξ）+λf（ξ）=0.

注 對題設中含有邊界條件等條件的情形，先把題目結論中的特殊點換成x后，再求解相應的微分方程.若存在其非零特解滿足題設中相應的邊界等條件，則可考慮構造輔助函數為原題設中函數減去該特解;若不存在其非零特解滿足題設中相應的邊界等條件，則可考慮構造輔助函數為原題設中函數與一簡單特解（可取任意常數為1）的乘積.

二、題設中不含有邊界條件等條件的情形

例5 設f（x）在[1，2]上連續，在（1，2）上可導，求證：ξ∈（1，2），使得f（2）-f（1）=12ξ2f′（ξ）.

分析 先把f（2）-f（1）=12ξ2f′（ξ）轉換為f（2）-f（1）=12x2f′（x），然后求解該微分方程，易得其通解為f（x）=-2[f（2）-f（1）]x+c（其中c為任意常數），選取一個簡單的特解f1（x）=-2[f（2）-f（1）]x（取c=0），我們可以考慮構造輔助函數g（x）=f（x）-f1（x）=f（x）+2[f（2）-f（1）]x.

證明 令g（x）=f（x）+2[f（2）-f（1）]x，則

g（1）=f（1）+2[f（2）-f（1）]1=2f（2）-f（1），

g（2）=f（2）+2[f（2）-f（1）]2=2f（2）-f（1），

由題意，在[1，2]上對g（x）應用羅爾中值定理即可.

例6 設f（x）在[a，b]上連續，在（a，b）上可導，且0

分析 先把2ξ[f（b）-f（a）]=（b2-a2）f′（ξ）轉換為2x[f（b）-f（a）]=（b2-a2）f′（x），然后求解該微分方程，易得其通解為f（x）=f（b）-f（a）b2-a2x2+c（其中c為任意常數），選取一個簡單的特解f1（x）=f（b）-f（a）b2-a2x2（取c=0），我們可以考慮構造輔助函數g（x）=f（x）-f1（x）=f（x）-f（b）-f（a）b2-a2x2.

證明 令g（x）=f（x）-f（b）-f（a）b2-a2x2，則

g（a）=f（a）-f（b）-f（a）b2-a2a2=f（a）b2-f（b）a2b2-a2，

g（b）=f（b）-f（b）-f（a）b2-a2b2=f（a）b2-f（b）a2b2-a2，

由題意，在[a，b]上對g（x）應用羅爾中值定理即可.

注 對題設中不含有邊界條件等條件的情形，先把題目結論中的特殊點換成x后，然后求解相應的微分方程，考慮構造輔助函數為原題設中函數與一簡單特解（可取任意常數為1或0等）的差，再考查端點等一些特殊點處的函數值，若它們的值相等，利用羅爾中值定理即可.

【參考文獻】

[1]劉樂斌.數學分析的理論、方法與技巧[M].武漢：華中科技大學出版社，2005.

[2]王高雄.常微分方程[M].北京：高等教育出版社，2006.