再談高考中的一些函數(shù)與不等式之研究

史健

在高中數(shù)學(xué)中經(jīng)常會(huì)遇到含絕對(duì)值不等式問(wèn)題，著實(shí)讓教師、學(xué)生頭疼，大多數(shù)會(huì)做的都采用“分類討論”知識(shí)解決問(wèn)題，而這種方法往往很復(fù)雜，難以討論清楚.今天筆者向大家推薦“換元法”“縱向距離法”的解法，純屬個(gè)人解法，不足之處望批評(píng)指正！

問(wèn)題呈現(xiàn)：2017年浙江高考第17題.

已知a∈R，函數(shù)f（x）=x+4x-a+a在區(qū)間[1，4]上最大值為5，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為.

初步看此題，很繁，又是絕對(duì)值討論，但此題的數(shù)學(xué)思想是利用換元法簡(jiǎn)化問(wèn)題的分析.

解法一 設(shè)t=x+4x，因?yàn)閤∈[1，4]，則t∈[4，5].

問(wèn)題化歸為：函數(shù)f（t）=|t-a|+a在區(qū)間[4，5]上最大值為5，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

則f（4）=|4-a|+a≤5，f（5）=|5-a|+a≤5， |4-a|≤5-a，|5-a|≤5-aa≤92.

解法二 利用絕對(duì)值不等式解決，使問(wèn)題更加簡(jiǎn)單化.

f（4）=|4-a|+a≤5，f（5）=|5-a|+a≤510≥|（4-a）-（5-a）|+2a=1+2a，a≤92.

解法三 利用函數(shù)縱向距離問(wèn)題，函數(shù)y=x+4x與 y=a的縱向距離最大值為5-a，

所以5-a≥5-42=12a≤92.

解法四 f（x）=|x+4x-a|+a在區(qū)間[1，4]上最大值為5，則

a-5≤x+4x-a≤5-a2a-5≤x+4x≤5（x∈[1，4]）2a-5≤4a≤92.

再練 若方程x3-2ax2+（a2+2）x=4a-4x恰有四個(gè)不等的正根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為.

答案 a>32

思路一 x3-2ax2+（a2+2）x=4a-4x轉(zhuǎn)化成三數(shù)和的平方公式.

（x2）2+（ax）2+22-2ax3-4ax-4x2=2x2（x2-ax+2）2=2x2.

思路二 構(gòu)造關(guān)于x+2x為整理的方程，問(wèn)題化歸為研究方程t2-2at+a2-2=0有兩個(gè)大于22的不同正根，可以利用根的分布，可以用韋達(dá)定理，也可以用函數(shù)思想.

練1 當(dāng)x∈32，4時(shí)，不等式|ax2+bx+4a|≤2x恒成立，則6a+b的最大值為.

練2 當(dāng)x∈[1，4]時(shí)，不等式0≤ax3+bx2+4a|≤4x2恒成立，則a+b的最大值為.

練3 當(dāng)x∈[1，2]時(shí)，不等式|ax4+bx2+4a|≤2x2恒成立，則a+b的最大值為.

練4 已知函數(shù)y=|x2-2x-t|（t為常數(shù)）在區(qū)間[0，3]的最大值為2，則實(shí)數(shù)t的值為.

溫馨提示：

思路一 換元思想，設(shè)X=x2-2x，因?yàn)閤∈[0，3]，所以X∈[-1，3].

問(wèn)題化歸為：函數(shù)y=|X-t|（t為常數(shù)）在區(qū)間[-1，3]的最大值為2，則實(shí)數(shù)t的值為.

解決問(wèn)題方法一：|-1-t|≤2，|3-t|≤2-3≤t≤1，1≤t≤5t=1.

解決問(wèn)題方法二：看成兩個(gè)函數(shù)的縱向距離問(wèn)題，y=X，X∈[-1，3]與函數(shù)y=t的縱向距離最大值為2，而函數(shù)y=X，X∈[-1，3]的縱向距離為4，所以y=t=1.

思路二 看成函數(shù)y=x2-2x與函數(shù)y=t的縱向距離最大值為2，而y=x2-2x，x∈[0，3]的縱向距離恰好為4，所以y=t=1.

思路三 最佳“逼近思想”用兩曲線夾直線

y=|x2-2x-t|在區(qū)間[0，3]的最大值為2，

|x2-2x-t|≤2x2-2x-2≤t≤x2-2x+2（x∈[0，3]）.

思路四 最佳“逼近思想”用兩直線夾曲線

|x2-2x-t|≤2t-2≤x2-2x≤t+2，x∈[0，3]，

而函數(shù)y=x2-2x，x∈[0，3]的縱向距離為4，兩直線y=t+2與y=t-2的縱向距離也是4，所以t+2=3，t-2=-1t=1.

思考 若不等式|x2-2x-t|≤3（t為常數(shù)）在區(qū)間[0，3]恒成立，則t的取值范圍為.

結(jié)束語(yǔ)

針對(duì)近年來(lái)高考中常用函數(shù)與不等式作為壓軸題，我們應(yīng)當(dāng)如何應(yīng)對(duì)，筆者的觀點(diǎn)是以不變應(yīng)萬(wàn)變，抓住函數(shù)的特性，尤其是初等函數(shù)的圖像與性質(zhì)要了如指掌，揭示問(wèn)題的本質(zhì)，做到如魚(yú)得水.愿與大家共享，歡迎大家點(diǎn)評(píng).