掌握要點　易解二次函數問題

馬旭

在初中，二次函數是中考的一個重點，也是一個難點，走到高中，二次函數問題同樣是一個重點和難點，同時它還是高考的一個熱點.二次函數貫穿著整個高中教學，它不僅與其他函數，如指數函數、對數函數、三角函數有著密切的聯系，還在數列、解析幾何中有著廣泛的應用，同時也是數學應用題中考查的一個重點.那么怎樣才能更好地掌握二次函數呢？下面我們就從以下幾個要點研究二次函數：

設二次函數為f（x）=ax2+bx+c（a≠0），其圖像為開口向上或者向下的拋物線.

（1）看開口：當a>0時，該函數圖像為開口向上;當a<0時，該函數圖像為開口向下.

（2）找對稱軸：該函數的對稱軸為x=-b2a.

（3）找頂點坐標：該函數的頂點坐標為-b2a，4ac-b24a，所以該函數的第二種解析式為頂點式：f（x）=ax+b2a2+4ac-b24a.

（4）與y軸的交點：令x=0，得y=c，即該函數圖像與y軸的交點為（0，c）.

（5）與x軸的交點：令y=0，解方程ax2+bx+c=0，令Δ=b2-4ac，

若Δ<0，則該方程無解，即該函數圖像與x軸無交點;

若Δ=0，則該方程有兩個相等的實根x1=x2=-b2a，即該函數圖像與x軸有一個交點，其坐標為-b2a，0.

若Δ>0，則該方程有兩個不等的實根x1=-b-Δ2a，x2=-b+Δ2a，即該函數圖像與x軸有兩個交點，其坐標為-b-Δ2a，0和-b+Δ2a，0，且有x1+x2=-ba，x1·x2=ca.此時x1、x2還稱為函數f（x）的兩個零點，所以該函數的第三個解析式為零點式：f（x）=a（x-x1）（x-x2）.

（6）單調區間：當a>0時，該函數圖像為開口向上，函數在區間-∞，-b2a上單調遞減，在區間-b2a，+∞上單調遞增;當a<0時，該函數圖像為開口向下，函數在區間-∞，-b2a單調遞增，在區間-b2a，+∞上單調遞減.

例題分析

例1 已知函數f（x）=x2+bx+c對于任意實數t都有f（2+t）=f（2-t），試比較f（4），f（-1），f（2）的大小.

分析 本題的關鍵是理解f（2+t）=f（2-t）所表示的含義，它表示2加上t與2減去t對應的函數值相同，即x=2是函數f（x）=x2+bx+c的對稱軸.

解 因為函數f（x）=x2+bx+c對于任意實數t都有f（2+t）=f（2-t），

所以函數f（x）=x2+bx+c的對稱軸為x=2，即-b2=2，所以b=-4;

所以f（-1）=f（5），又因為f（x）在[2，+∞）上為增函數，

所以f（2）

總結 （1）若函數f（x）的圖像關于直線x=a對稱，則有f（a+t）=f（a-t），反之亦成立.

（2）注意利用對稱性，將所比較的函數值轉化到同一個單調區間上，才能用單調性進行比較.

例2 求函數f（x）=x2-2ax-1在區間[0，2]上的最小值和最大值.

解 函數f（x）=x2-2ax-1的對稱軸為x=a，且圖像開口向上，

① 當a<0時，函數f（x）在區間[0，2]為增函數，

所以f（x）min=f（0）=-1，f（x）max=f（2）=3-4a.

② 當0≤a<1時，對稱軸x=a在區間[0，2]內，且x=2距離對稱軸較遠，

所以f（x）min=f（a）=-1-a2，f（x）max=f（2）=3-4a.

③ 當1≤a≤2時，對稱軸x=a在區間[0，2]內，且x=0距離對稱軸較遠，

所以f（x）min=f（a）=-1-a2，f（x）max=f（0）=-1.

④ 當a>2時，函數f（x）在區間[0，2]為減函數，

f（x）min=f（2）=3-4a，f（x）max=f（0）=-1.

總結 （1）該題對稱軸變動而區間不變.

（2）考查了分類討論思想，數形結合思想和函數與方程的思想，該題比較典型.

解決二次函數問題數形結合思想非常重要，研究二次函數，必須抓住二次函數的圖像和三點一線（頂點，與x軸交點，與y軸交點以及對稱軸）.同時還要從以上六個方面深入地研究二次函數的各個方面的特點，才能把二次函數理解好、掌握好.