正、 余弦定理與三角形面積結合的兩種題型

尚甜甜

【摘要】縱觀近些年來的高考題，正、余弦定理并不是單一地出現在高考題中，而是和函數、向量、三角形等結合起來，本文主要探究它和三角形面積結合出現的兩種題型.

【關鍵詞】正弦定理;余弦定理;三角形面積公式

一、已知邊長和角度求三角形面積問題

例1 （2014·全國）已知a，b，c分別是△ABC的對應邊，a=2，且（a+b）（sinA-sinB）=（c-b）sinC，求△ABC面積的最大值是多少.

分析 三角形的面積公式：S=12absinC=12acsinB=12bcsinA，分析已知條件知道：要想求出面積，必須從已知條件推出另外一條邊的長度和一個角的正弦值，而要求三角形面積的最大值，很明顯看出與均值不等式有關.

解 ∵（a+b）（sinA-sinB）=（c-b）sinC，∴（a+b）（a-b）=（c-b）c即：a2=b2+c2-bc，又∵a=2，由均值不等式可以得到bc≤4，當且僅當b=c時等式成立.由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA可得cosA=12.又∵sin2A+cos2A=1，∠A為三角形的內角，∴sinA=32，∴Smax=12bcsinA=3.

反思 在知道一條邊的長度時要運用三角函數的誘導公式、正余弦定理來進行邊化角、角化邊來得到我們想要的條件，那如果已知的是三角形的一個角我們怎么來計算呢？是不是和已知邊的算法一樣呢？接下來我們來看：

例2 （2014·山東）在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.已知a=3，cosA=63，B=A+π2.求：（1）b的值;（2）△ABC的面積.

分析 在解決第二問的時候，通常要用到第一問的結論為已知條件來解決第二問.

解 （1）由正弦定理很容易解得b=32.

（2）∵sinC=sin（A+B），∴asinA=csinC=csin（A+B），

又∵sinC=13，∴c=3，

∴S=12bcsinA=12·32·3·33=322.

（在求這個三角形面積的時候，重點是要注意隱藏條件：三角形的內角和是180度，所以sinC=sin（A+B））

總結 對比例1和例2我們知道：要求三角形的面積，需要用誘導公式、正余弦定理來進行邊化角、角化邊來得到想要的條件.邊角轉化一般有兩個途徑：一個是已知邊用正弦定理來化為角;另一個是已知角用余弦定理來化為邊;在選用三角形面積公式的時候，知道哪個角或者哪個角好求出來就用哪個公式.

二、已知面積求邊長、角度和周長

例3 （2017·全國）△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知△ABC的面積為a23sinA求：（1）sinBsinC;（2）若6cosBcosC=1，a=3，求△ABC的周長.

分析 當已知的面積里有二次項的時候，通常要對其進行降次處理，然后選擇合適的面積公式;要求三角形的邊長，即要化角為邊，在已知條件很少的時候，要恰當地運用第一問的結論.

解 （1）很容易解得：sinBsinC=23.

（2）∵6cosBcosC-sinBsinC=1-23，

∴cosBcosC-sinBsinC=-12，即cos（B+C）=-12.

又∵∠B，∠C為三角形內角，∴∠B+∠C=2π3，

∴∠A=π3.

又∵12bcsinA=a23sinA，其中a=3，解得bc=8，①

∴由a2=b2+c2-12bccosA，得b2+c2-bc=9.②

結合①②可得b+c=33，

∴三角形的周長C=a+b+c=3+33.

反思 在求周長的時候，我們運用了設而不求，整體代換來求得最后的答案，設而不求是解三角形周長常用的方法，那如果我們要求三角形的邊長呢？我們可以用這個方法嗎？求邊長和求周長之間有聯系嗎？下面我們來看例4：

例4 △ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知sin（A+C）=8sin2B2.

（1）求cosB;（2）若a+c=6，△ABC的面積為2，求b.

分析 要求邊長，已知三角形的面積，運用三角形面積公式，還要把第一問的答案當作已知條件來運用.

解 （1）進行降冪處理后易得出：cosB=1517.

（2）由（1）知cosB=1517，所以sinB=817，

∴S=12acsinB=417ac=2，∴ac=172.

又∵b2=a2+c2-2accosB，

∴b2=（a+c）2-2ac（1+cosB），得b=2.

（在解答過程中，我們也用了設而不求的方法，把ac和a+c當成一個整體代入余弦定理中，從而算出b的值）

總結 在求三角形的邊長或周長的時候都用到了設而不求、整體代換的方法;先用面積公式算出兩邊長的乘積，再運用余弦定理算出這兩條邊的和，再運用條件和已知結論求得結果.

【參考文獻】

[1]張一.正、余弦定理在解決三角形問題中的應用[J].教育教學論壇，2010（17）：76-77.

[2]代潤達.與三角形面積有關的最值問題的求解策略[J].傳播力研究，2018（3）：113-115.