已知三角形一邊及其對角求面積最大值的新思路

鄒帥　張渝杭

【摘要】目前，對某些幾何與代數緊密聯系的問題，通常很少有人關注到其中的聯系或者找不到聯系.例如，已知三角形一邊及其對角求三角形面積最大值的問題都是以正余弦定理為基礎輔以不等式的代數計算解答，而正余弦定理輔以不等式的代數方法求解三角形面積最大值不僅思路復雜，而且計算量相對較大，因而，有一個更簡便的求解方法顯得尤為重要.本文將闡述如何把已知三角形一邊及其對角求面積最大值轉化為平面幾何問題快速求解，并做出嚴密論證.本文旨在通過此例說明與發掘代數與幾何之間的聯系，并使得數學更好地運用于實踐.

【關鍵詞】三角形面積;平面幾何;正余弦定理

目前，對某些幾何與代數緊密聯系的問題，通常很少有人關注到其中的聯系或者找不到聯系.例如，對已知三角形一邊及其對角求面積最大值的問題都是以正余弦定理為基礎輔以不等式的代數計算解答，而正余弦定理輔以不等式的代數方法求解三角形面積最大值不僅思路復雜，而且計算量相對較大，因而，有一個更簡便的求解方法顯得尤為重要.思考代數與幾何之間的聯系，在很多時候能使得問題變得更為簡單.而代數與幾何的聯系可以看作是數形結合的一個方面運用，數形結合被我們熟知，但是我們卻常常不能深入思考幾何與代數的聯系.因而，本文通過一個新思路的創立與一個簡單的例子說明那些被我們忽視了的代數與幾何的聯系.

一、代數方法

正余弦定理輔以不等式求解已知三角形一邊及其對角的三角形面積最大值.

已知三角形一邊c，及其對角θ.

由面積公式S=12·a·b·sinθ，

得S由a·b限定.

又余弦定理a2+b2-c2=2ab·cosθ，

即2ab·cosθ+c2=a2+b2.

由基本不等式得2ab·cosθ+c2=a2+b2≥2ab，

解得S=12absinθ≤c2sinθ4（1-cosθ）=c24tanθ2.

二、幾何方法

已知AB=c，AB所對的角為θ，C為任意取一點使得∠ACB=θ，C′是C另一個取值.

由四點共圓定理：

若線段同側兩點到線段兩端點連線夾角相等，那么這兩點和線段兩端點四點共圓.

可證C的運動軌跡是圓上的一段弧.

作三角形的高h⊥AB.

顯然當h過圓心，即AC與BC等長時，三角形面積取得最大值.

易得c=2tanθ2，S=12h·c=c24tanθ2.

三、用代數或幾何方法求陰影面積的比較

已知ABCD為正方形，邊長為2，E是CD的中點，圓C的圓心為C，半徑為2，AE交BQ于Q，PQ⊥AD，求陰影部分PQD面積.

（1）代數方法

設平面直角坐標系xOy，D（O）為原點，

圓C的方程為x2+（y-2）2=4，

BD段，y=2-4-x2，

直線lAE：y=12x+1.

令12x+1=2-4-x2，

即求直線與圓相交點Q的橫坐標，

12x-1=-4-x2，

2-x=24-x2，

5x2-4x-12=0，

解得x=-65或x=2，又x<0，所以x=-65，

即Q點的軸坐標為-65，

S=∫0-652-4-x2dx=0.153.

（2）令PQ=a，則AP=2a，CQ=R=2，

2sinθ+2a=2，

2cosθ+a=2，

4sin2θ=（2-2a）2，

4cos2θ=（2-a）2，

求和4（sin2θ+cos2θ）=（2-2a）2+（2-a）2，

即4=4-8a+4a2+4-4a+a2，

5a2-12a+4=0，

解得a=25或a=2（舍去），

代入cosθ+2a=2，解得cosθ=45，

arccos45=0.6435rad，

扇形CQD面積S=0.6435·12π·π·22=1.287，

梯形QPDC面積S=122+2565=1.44，

陰影部分面積S=1.44-1.287=0.153.

四、討 論

在已知三角形一邊及其對角求面積最大值問題中，由幾何方法計算比正余弦定理輔以不等式更簡單易于理解，且計算量相對較小，因而，具優越性.現今計算方式因為此問題以代數形式問題出現，而通常盲目采用代數方法計算卻忽略了幾何方式，導致了計算與理解的困難.新方法的闡述，提醒著我們幾何與代數的聯系，并思考如何運用使問題變得更簡單.

在本文所討論的問題陰影面積計算中，雖然代數運算在計算上略微復雜于積分.但是，代數方法可以不用經過繁雜的思索，而幾何的方式求解思考過程甚為繁雜.同時，因為幾何方法需要用到反三角函數，看上去并不比代數方式簡單.因而，需要我們結合實際，如果很方便獲取反三角函數的取值，就用幾何方式求解.如果不容易得到反三角函數取值，用代數會更快.這些都是代數與幾何間相互聯系的例子，提醒著我們時刻不要忘記代數與幾何之間的聯系.

于平時的運用中，我們要注重幾何與代數的聯系，合理地選擇代數或幾何方式解決問題.我們不能被問題表現形式限制了思維，我們理應通過多種思維解決問題.最終，如何使問題變得簡單，使求得結果的過程變得簡約，才是我們最需要做的.