“向量法解決直線與平面所成角問題”的教學與思考

李琳

立體幾何模塊是高中階段學習的重點，學生在《數學必修2》的學習基礎上，結合空間向量又在選修2-1中補充學習，這不是簡單的重復學習，而是從新的視角對空間圖形的位置關系與度量問題進行學習，而且為解決立體幾何中某些用綜合法解題時技巧性較大、隨機性較強的問題提供了一些通法，從而進一步提升學生的空間想象能力和幾何直觀能力.教師在教學過程中如何做到既注重基礎知識的教學，又能拓展學生的思維進而達到培養(yǎng)學生能力的目的？下面筆者以“向量法解決直線與平面所成角問題”的教學為例展開論述.

一、教學設計

（一）課前導入有的放矢

由于本節(jié)課不是概念課，也不是新授課，師生已經對教材（人教A版選修2-1）《立體幾何中的向量方法》進行了學習，對空間向量這個工具的使用有了一定的基礎和認識，所以筆者設計了以下三道小題給學生課前完成：

1.已知空間向量a=（1，1，0），b=（x，-1，1），若〈a，b〉=π3，則x=（）.

A.0或4

B.0

C.4

D.1

2.已知A（3，-1，4），B（2，1，3），若AP=λAB，則P點的坐標是（）.

A.（3-λ，2λ-1，4-λ）

B.（λ，λ-1，2λ）

C.（λ，2λ，2-λ）

D.（3λ，2-λ，λ，）

3.如圖1所示，在棱長為4的正方體中，點P在B′C′上，且C′P=14C′B′，則直線PA與平面ABCD所成角的余弦值為.

圖1

習題1的設計是檢測學生向量夾角公式的掌握情況，結果絕大部分學生錯選成了A，究其原因是學生忽視了向量夾角的范圍，未注意到在計算過程中對方程兩邊平方會擴大變量的范圍.如果學生在求解過程中列出了式子：12=x-12x2+2，注意到向量夾角為銳角時其數量積為正數，就可得出x>1，可以選出正確答案C;習題2的設計是為后面例題1的變式做鋪墊的，檢測的知識點是向量共線的應用，答題效果比較好.習題3的設計是借助一個正方體求直線與平面所成角的余弦值，這里有兩個設計意圖：其一是此題用向量法和綜合法都很容易入手，學生可以自由選擇方法，其二是題目求的是直線與平面所成角的余弦值，若學生用向量法解題的話這里是個易錯點，不少學生對向量法求出的值到底是正弦值還是余弦值還有些混淆.因此，本節(jié)課的課前導入就是通過習題幫助學生查缺補漏，并圍繞本節(jié)課的教學重點進行歸納小結，讓學生明晰知識點、明確考點，學習過程中做到心中有數.

（二）課中題型精選典型

數學教學離不開解題教學，解題教學的首要工作就是精選例題.高中階段的數學學習更多的是通過培養(yǎng)學生的思維品質，達到提升學生學習能力的目的，因此，教師選取的例題需有基礎性、典型性和示范性的特征.筆者選取了如下題作為課堂例題：

例1 如圖2所示，在三棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，D為PC的中點，PA=AC=4，BC=2.E為AD的中點，求PE與平面ADB所成角的正弦值.

圖2

用向量法求直線與平面所成角本身難度不大，學生的難點主要集中在建立空間直角坐標系和找空間點的坐標這兩項.筆者選取的這道例題無論是建系還是找點的坐標學生都很容易入手，題目比較基礎，解答方法也有典型示范的功能.設計意圖是強化用向量法求直線與平面所成角的“三步曲”：化為向量問題——進行向量運算——回到圖形問題.第一步是向學生滲透化歸與轉化的思想，第二步考查學生的運算能力和綜合能力，第三步強化學生對知識的理解和掌握.為了拓展學生的思維，例題講完后筆者設計了一道探究題：你還有哪些方法得出E點的坐標？由于學生最容易想到直接求E點坐標，所以容易想到的方法有：用中點坐標公式求的;先找E點在底面投影再求E點坐標的;這時筆者提示學生：根據A，E，D三點共線及課前演練的第二小題，你有什么啟發(fā)嗎？有些學生馬上領悟到可用向量共線設AE=λAD，直接求出E點坐標進而求PE的坐標形式;又有學生提出可由PE=PA+λPC直接表示出PE的坐標.接下來筆者向學生提問：這些方法中各有何優(yōu)缺點？我們在日后的學習和解題過程中如何快速選取更優(yōu)的方法？經過學生的思考和探討，學生明白了：1.當且僅當點E為中點時方可用中點坐標公式得出E點坐標;2.當點E在xOy平面上的投影位置比較特殊（如在坐標軸上等）時可以用投影法求點E的坐標;3.建立坐標系的方式與求點E坐標的難度有關，比如，以A為原點比以C為原點更好求點E的坐標;4.無論點E在線段（或直線）AD上什么位置，都可用向量共線法求其坐標，且計算難度與E點位置沒有明顯關系.經過這樣一番思考與討論，筆者馬上引導學生解例題1的變式和練習題：

變式 在上述例題中，線段AD上是否存在一點M，使得直線PM與平面ADB所成角的正弦值為66？若存在，請求出M點坐標，若不存在請說明理由.

練習 如圖3所示，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是平行四邊形，∠BCD=135°，側面PAB⊥底面ABCD，∠BAP=90°，AB=AC=PA=2，E為BC的中點，點M在線段PD上.如果直線ME與平面PBC所成角和直線ME與平面ABCD所成角相等，求PMPD的值.

圖3

（三）課后練習方向明確

練習 1.（2013全國高考）如圖4所示，三棱柱ABC-A1B1C1中，CA=CB，AB=AA1，∠BAA1=60°.（1）證明：AB⊥A1C;（2）若平面ABC⊥平面AA1B1B，AB=CB，求直線A1C與平面BB1C1C所成角的余弦值.

圖4

2.如圖5所示，ABCD為矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD，M，N分別是PC，AB中點，（1）求證：MN⊥平面PCD;（2）求NM與平面ABCD所成的角的大小.

圖5

圍繞本節(jié)課的教學重點筆者設計了兩道解答題作為課后練習.兩道練習題難度均不大，其中第1題是2013年的全國高考題，學生掌握了用向量求線面角的方法就可以建立空間直角坐標系解答，大部分學生采用了此法，另外也讓學生了解了這個知識點在高考中的重要性和考試的難易程度.第2題兩種常用的解法向量法和綜合法都容易入手.

由于本節(jié)課的重點是向量法解決直線與平面所成角問題，通過已有的學習學生對向量法解決立體幾何問題有了一些基本的認識和方法，再加上前面有例題1和探究思考的鋪墊，所以變式和習題都能解答出來，最后師生共同小結本節(jié)課的學習內容和重難點問題.

二、教學思考

（一）例題、習題選取要有目的性和典型性.

由于高中數學知識點多、又有一定的抽象性、綜合性和難度，再加上高中生的學習任務又重，這就要求教師在備課時對例題和習題要精心選取，圍繞本節(jié)課的教學內容、教學內容在教材中的地位和知識體系中的作用以及學生的學習情況等諸多因素有目的地選取一些典型的題目.一題多解和一題多變可以實現這一目標.比如，前面教學設計中選取的例題，結合馬上要處理的二面角問題可以變?yōu)椋壕€段AD上是否存在一點M，使得平面PMB與平面ADB所成角的余弦值為66？若存在請求出M點坐標，若不存在請說明理由.有了前面求線面角的鋪墊，學生很快能找出解題思路和方法.

（二）數學學習過程是數學知識的“再發(fā)現”過程

數學學習過程是一個知識的“發(fā)現”過程.知識的“再發(fā)現”是從觀察、分析和概括具體事例開始的.由于認知水平的限制，學生不可能獨立地完成“再發(fā)現”過程，而必須通過教師的啟發(fā)引導.因此，在本節(jié)課的教學中筆者設計了一個思考題：你是怎么求點E的坐標的？還有其他方法嗎？讓學生通過對點E的位置和不同建系的方式的觀察，去分析和思考有哪些途徑和方法可以找出E點的坐標，最后對各種方法進行比較歸納，概括出具體的結論.從而為“再發(fā)現”創(chuàng)造條件.以后學生再遇到找空間點的坐標時就有了“捷徑”可走，可以降低解題難度，也可以減少解題過程中的彎路.

另外在實施教學過程中，教師講完例題后總結用向量法的“三步曲”：化為向量問題——進行向量運算——回到圖形問題，實際是讓學生經歷從具體事例中概括出數學理論，完成從具體到抽象的過程，再通過變式和習題的練習實現從抽象到具體，從而達到鞏固所學知識的目的.具體——抽象——具體是數學教學的顯著特點，也是數學教學的基本形式.