核心素養(yǎng)下的拓展式教學(xué)

樓思遠(yuǎn)

【摘要】向量理論有著深刻的數(shù)學(xué)內(nèi)涵，它是溝通代數(shù)與幾何的橋梁，是進(jìn)一步學(xué)習(xí)和研究其他數(shù)學(xué)領(lǐng)域問題的基礎(chǔ).本文通過“問題情境—引導(dǎo)與設(shè)問—解釋與拓展—反思”這樣的一種教學(xué)模式，對學(xué)生所學(xué)的向量基本內(nèi)容進(jìn)行拓展式教學(xué)，從而幫助學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題的本質(zhì)，提高他們的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

【關(guān)鍵詞】拓展式教學(xué);核心素養(yǎng)

向量理論有著深刻的數(shù)學(xué)內(nèi)涵，它既是代數(shù)研究對象，也是幾何研究對象，是溝通代數(shù)與幾何的橋梁，是進(jìn)一步學(xué)習(xí)和研究其他數(shù)學(xué)領(lǐng)域問題的基礎(chǔ)，在解決很多問題時發(fā)揮著重要的作用.在課堂上，教師不應(yīng)只滿足于書本知識的傳授，更應(yīng)在學(xué)生已有的基礎(chǔ)之上對所學(xué)的簡單內(nèi)容進(jìn)行拓展，從而幫助學(xué)生發(fā)散思維，提高數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).以下為筆者的一節(jié)向量拓展課的過程：

師：今天，我們從向量的一個簡單結(jié)論入手，推導(dǎo)出幾個與立體幾何與不等式相關(guān)的結(jié)論.如圖所示，在△ABC中，根據(jù)加法法則有：

AB+BC+CA=0，

能否從這個恒等式入手得到一些有趣的結(jié)論呢？我們知道向量為既有大小又有方向的量，而向量的模則為數(shù)量，通過何種操作可以進(jìn)行向量與它的模之間的轉(zhuǎn)化？

生：可以通過平方將向量變?yōu)槟５钠椒?

師：請動手試試，看能得到怎樣的結(jié)果？（讓學(xué)生自己琢磨3分鐘）

學(xué)生甲：老師！我得到了一個向量的數(shù)量積與三角形邊長之間的關(guān)系：

由AB+BC+CA=0得：

AB=-（BC+CA）AB2=（BC+CA）2，展開后得到：

CB·CA=CB2+CA2-AB22.（1）

師：很好，該式免去了向量夾角的判斷，還有其他的方法嗎？

學(xué)生乙：也可以由余弦定理得到：

CB·CA=|CB|·|CA|cosθ=|CB|·|CA|·|CB|2+|CA|2-|AB|22|CB|·|CA|=|CB|2+|CA|2-|AB|22.

學(xué)生丙：（不屑）這個結(jié)論很多人早就知道了，而且平時也經(jīng)常用，沒什么特別的地方啊？

師：是的，這是平面內(nèi)的一個結(jié)論.我們知道空間向量是研究立體幾何非常有效的一個工具，能否將我們剛得到的結(jié)論推廣到空間呢？先看這么一個題目：

例1 空間四點(diǎn)A，B，C，D滿足|AB|=3，|BC|=7，|CD|=11，|DA|=9，則AC·BD的取值（）.

A.只有一個

B.有兩個

C.有四個

D.有無數(shù)個

分析 顯然這四點(diǎn)構(gòu)成了空間的封閉四邊形，同學(xué)們可以類比剛才的思路進(jìn)行推導(dǎo)，相互之間可以討論一下.（等五分鐘）

學(xué)生甲：我剛開始的思路是在等式兩端各放兩項(xiàng)再平方，根據(jù)對稱的思想簡化運(yùn)算，但是計(jì)算太復(fù)雜，于是我轉(zhuǎn)變思路，仍然只留一項(xiàng)在等式左端，得到：

AB+BC+CD+DA=0DA2=（AB+BC+CD）2

=AB2+BC2+CD2+2（AB·BC+BC·CD+CD·AB）

=AB2-BC2+CD2+2（BC2+AB·BC+BC·CD+CD·AB）

=AB2-BC2+CD2+2（AB+BC）·（BC+CD），

整理后得到：AC·BD=AD2+BC2-AB2-CD22，把數(shù)據(jù)代入得答案為A（教室響起了熱烈的掌聲）.

師：非常漂亮的推導(dǎo)過程，非常簡潔的結(jié)論.我們也可直接利用結(jié)論（1）得到相同結(jié)果：

AC·BD=AC·（AD-AB）=AC·AD-AC·AB

=AC2+AD2-CD22-AC2+AB2-BC22

=AD2+BC2-AB2-CD22.

如果不考慮方向這一要素，根據(jù)異面直線所成角的定義與范圍還可以得到如下結(jié)論：

空間中任意兩條異面直線AC與BD所成的角θ滿足

cosθ=AD2+BC2-AB2-CD22|AC|·|BD|.（2）

由結(jié)論（2）我們可以解決一類異面直線所成角的問題.

例2 三棱錐A-BCD中，AB=AC=BD=CD=3，AD=BC=2，點(diǎn)M，N分別是AD，BC的中點(diǎn)，則異面直線AN，CM所成角的余弦值是.

生：（過一分鐘）是78，哇，比平移添輔助線快多了！

師：我們把這個結(jié)論稱為空間余弦定理，它其實(shí)是平面余弦定理的推廣，有興趣的同學(xué)課后可以對兩個結(jié)論（1）和（2）進(jìn)行對比記憶.留給大家兩個課后習(xí)題：

練習(xí)1 四邊形ABCD滿足AB=BD=DA=2，BC=CD=2，現(xiàn)將△ABD沿BD折起，當(dāng)二面角A-BD-C在π6，5π6變化時，直線AB和CD所成角的余弦值的范圍是.

練習(xí)2 如圖所示，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，已知∠BAC=π2，AB=AC=AA1=2，點(diǎn)G，E分別為線段A1B1，C1C的中點(diǎn)，點(diǎn)D，F(xiàn)分別為AC，AB上的動點(diǎn)，且GD⊥EF，則線段DF的長度的最小值為.

師：恩格斯曾說過：數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的一門科學(xué)，我們通過剛才的拓展研究，將數(shù)量關(guān)系與空間形式緊緊地聯(lián)系在了一起，實(shí)現(xiàn)了二者之間的相互轉(zhuǎn)化，真是收獲滿滿啊.在平時的學(xué)習(xí)過程中，當(dāng)遇到一些簡單而直觀的圖形問題時，我們不僅要觀其形，知其性，更要盡其理，終其道.

生：（會心的笑）老師，還能有其他“神奇”的發(fā)現(xiàn)嗎？

師：（笑）“神奇”這個詞用得不對，剛才的幾個結(jié)論都是我們大家理性思考與推導(dǎo)的結(jié)果哦！要說到有趣的結(jié)論，讓我們重新回到△ABC中：已知AB+BC+CA=0，若用e1表示AB方向上的單位向量，e2表示BC方向上的單位向量，e3表示CA方向上的單位向量，則有：

|AB|·e1+|BC|·e2+|CA|·e3=0.

這個恒等式看上去平淡無奇，如何尋找突破口呢？（停頓）注意到單位向量已經(jīng)是最簡單的概念，那么我們能否從三角形三條邊這一個制約關(guān)系入手？

生：若是把三條邊用任意三個正實(shí)數(shù)代替，那么只能得到一個不確定的新的向量，這個向量的方向與大小都不確定，似乎沒有什么規(guī)律可言.

師：可否把向量的方向這一棘手的問題歸避？從我們剛剛推導(dǎo)（1）的過程可以得到什么啟發(fā)？

生：（恍然大悟）平方！

學(xué)生丁：把三角形三條邊換為任意的實(shí)數(shù)x，y，z，再將等式兩端平方可得：

x2+y2+z2≥2yzcosA+2zxcosB+2xycosC.（3）

雖然向量沒有了，可是又多了三個三角形的內(nèi)角，式子好像變復(fù)雜了.

師：補(bǔ)充一點(diǎn)，等號在x∶y∶z=sinA∶sinB∶sinC時取到.注意到實(shí)數(shù)x，y，z為任意的，而三個角A，B，C為某個三角形的三內(nèi)角即可.若對它們進(jìn)行不同的賦值，則可以生成大量的新的不等式哦！比如，下面2個問題：

例3 在△ABC中，證明：cosA+cosB+cosC≤32.

例4 已知x，y，z為任意的實(shí)數(shù)，證明：x2+y2+z2≥2（xy+zx）.

學(xué)生丁：的確可以對（3）用賦值法來證明這兩個題，可是從函數(shù)的凹凸性和基本不等式入手，似乎更簡單也更自然，感覺這個不等式?jīng)]啥優(yōu)勢啊.

師：知道難不住你們，我們再看一題：

例5 在△ABC中，求3cosA+4cosB+5cosC的最大值.

生：柯西不等式，均值不等式似乎都不行，此時根據(jù)（3）對該不等式賦值得到最大值為729120，當(dāng)且僅當(dāng)sinA∶sinB∶sinC=13∶14∶15時取到等號，原來這個不等式還是蠻有用的.

師：由于我們平時碰到的不等式大多都是限制在正實(shí)數(shù)范圍內(nèi)進(jìn)行討論，因此，對（3）用正實(shí)數(shù)nsm，smn，mns代替x，y，z得到：

mcosA+ncosB+scosC≤12nsm+smn+mns.（4）

這個式子比（3）結(jié)構(gòu)簡潔，同學(xué)們?nèi)裟苡涀t大有裨益，我們再看一例：

例6 在△ABC中，證明：cosA+2cosB+3cosC≤11612.

生：與例5類似，輕松解決.

師：再次強(qiáng)調(diào)一定要注意驗(yàn)證取等條件哦！同樣留給同學(xué)們兩個課后練習(xí)題：

練習(xí)3 xy+xzx2+y2+z2+yz的最大值為.

練習(xí)4 已知正實(shí)數(shù)a，b，c滿足：a+b+c=abc，證明：11+a2+11+b2+11+c2≤32.

（可以利用三角恒等式tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC換元）

師：（笑）同學(xué)們臉上似乎都有意猶未盡的感覺，在上這節(jié)課之前，有幾位同學(xué)能夠想到，就是這么簡單的一個恒等式，可以拓展延伸出這么多深刻而優(yōu)美的結(jié)論呢？這正是應(yīng)了那首詩：“半畝方塘一鑒開，天光云影共徘徊，問渠哪得清如許，為有源頭活水來”.同學(xué)們?nèi)裟茉谄綍r的練習(xí)過程中細(xì)心一些，對一些基本的結(jié)論做一些拓展研究，一定會有意想不到的收獲哦！我們下課.

課后小結(jié)

本文展示了如何圍繞一個簡單基本的知識點(diǎn)，啟發(fā)和鼓勵學(xué)生進(jìn)行探索和發(fā)現(xiàn)新的結(jié)論的過程.在這個過程中，學(xué)生不僅對數(shù)量關(guān)系和空間形式的相互轉(zhuǎn)化有了更深的理解，也對代數(shù)和幾何之間的密切聯(lián)系所深深著迷.在教師適當(dāng)?shù)囊龑?dǎo)和師生之間積極的交流與互動下，學(xué)生既鍛煉了邏輯推理能力，也鍛煉了數(shù)學(xué)抽象與直觀想象之間相互轉(zhuǎn)化的能力.

我們知道，新課程標(biāo)準(zhǔn)下的課堂教學(xué)，應(yīng)當(dāng)鼓勵學(xué)生通過鐫刻系統(tǒng)使他們自己的思維可視化，通過參與辯論活動說出他們自己的觀點(diǎn)，用自己的語言去說出對抽象數(shù)學(xué)概念的理解與感悟，并通過師生之間的交流與反思不斷對此進(jìn)行改進(jìn).教師在課堂中應(yīng)該依據(jù)特定的對象，環(huán)境和教學(xué)內(nèi)容去創(chuàng)造性的進(jìn)行教學(xué)，而不應(yīng)機(jī)械地應(yīng)用某種理論或教學(xué)模式，比如，過去的“導(dǎo)入—講授—鞏固—作業(yè)—小結(jié)”這種以教師為中心的環(huán)節(jié)教學(xué)法，就會把學(xué)生封閉在教師劃定的圈子里.在課堂教學(xué)中，我們可以更開放一些，給學(xué)生更多主動思考的時間，與現(xiàn)行的教學(xué)模式中主要采取的“定義—定理，公式—例題—習(xí)題”的形式不同，本堂課以“問題情境—引導(dǎo)與設(shè)問—解釋與拓展—反思”的模式展開教學(xué)，通過對一個基本問題的深入挖掘和拓展研究，讓學(xué)生看透了問題的本質(zhì)，并提高了他們的核心素養(yǎng).

最后筆者想指出：不管哪一種教學(xué)方法都有它適用的范圍和使用條件，同時又有各自的優(yōu)缺點(diǎn)和局限性.在實(shí)際的教學(xué)過程中，應(yīng)當(dāng)遵循“教學(xué)有法，教無定法”的原則，根據(jù)實(shí)際靈活運(yùn)用教學(xué)方法，方可收到良好的教學(xué)效果.