淺析三角函數(shù)的有界性的應(yīng)用

王丹　張淑敏

【摘要】三角函數(shù)內(nèi)容多，學(xué)生不容易掌握，所以本文從三角函數(shù)的有界性出發(fā)，利用有界性解五個(gè)有關(guān)三角函數(shù)的值域問題，讓學(xué)生對(duì)三角函數(shù)的理解更加深刻，達(dá)到熟練三角函數(shù)的各種知識(shí)，以及提高學(xué)生的核心素養(yǎng)的最終目的.

【關(guān)鍵詞】三角函數(shù);有界性;值域

三角函數(shù)一直在數(shù)學(xué)課程中占有重要的位置.但因?yàn)槠鋬?nèi)容多，一直以來都是學(xué)生學(xué)習(xí)的難點(diǎn).本文從三角函數(shù)的有界性出發(fā)，利用有界性解最值問題，提高學(xué)生對(duì)三角函數(shù)的理解.下面以五個(gè)典型的例題，體會(huì)三角函數(shù)有界性的應(yīng)用.

例1 函數(shù)f（x）=asinx+b（a，b為常數(shù)），若f（x）∈[-7，1]，求bcosx最大值.

分析 題中有隱含信息：三角函數(shù)有界性;定義域?yàn)閤∈R.

解 當(dāng)a>0時(shí)，a+b=1，-a+b=-7. 解得a=4，b=-3.

當(dāng)a=0時(shí)，不合題意.

當(dāng)a<0時(shí)，a+b=-7，-a+b=1. 解得a=-4，b=-3.

綜上b=3.

因?yàn)閨cosx|≤1，所以|bcosx|≤3，即最大值是3.

這道題如果想不到正弦函數(shù)有界性的性質(zhì)，那么解這道題就會(huì)有難度.

例2 求函數(shù)y=sinx+cosx+3，x∈-π4，π4的最大值.

分析 這道題可以利用輔助角公式將其變形，然后利用三角函數(shù)有界性求解.

解 y=sinx+cosx+3=222sinx+22cosx+3=2sinx+π4+3.

又x∈-π4，π4，所以x+π4∈0，π2，

所以0≤sinx+π4≤1.

所以ymax=2+3

這道題考查學(xué)生對(duì)輔助角公式的應(yīng)用與對(duì)三角函數(shù)有界性的熟練度.

例3 求函數(shù)y=sin2x-3sinxcosx-1（x∈R）的最大值.

分析 先利用三角函數(shù)公式恒等變換，根據(jù)三角函數(shù)的有界性，可求出值域.

解 y=sin2x-3sinxcosx-1=12-sinπ6+2x.

因?yàn)閨sinx|≤1，所以ymax=32.

這道題用到了三角函數(shù)中的降冪公式和輔助角公式，具有綜合性.

例4 求函數(shù)y=2sinx-53sinx+4的最值.

分析 根據(jù)函數(shù)的特點(diǎn)有兩種做法：分離變量法;反函數(shù)法.

解法一 （分離變量法）

y=2sinx-53sinx+4=23-233×13sinx+4.

由|sinx|≤1得ymin=-7，ymax=-37.

解法二 （反函數(shù)法）

由y=2sinx-53sinx+4可得sinx=-4y+53y-2，

解之可得y∈-7，-37.

由以上解題過程，可知分?jǐn)?shù)形式的三角函數(shù)利用有界性，有兩種解法.

例5 在△ABC中，求cosAcosBcosC的最大值.

分析 解這道題需要用到三角函數(shù)的積化和差公式和誘導(dǎo)公式.

解 cosAcosBcosC

=12[cos（A+B）+cos（A-B）]·cosC

=-12cos2C+12cos（A-B）·cosC.

令x=cosC，y=cosAcosBcosC，原式可化為x2-cos（A-B）x+2y=0，由判別式大于零，|cosC|≤18y≤cos2（A-B）≤1，可得y≤18.則最大值是18.

解這道題利用三角函數(shù)公式將原式化為二次方程，再結(jié)合有界性得出答案.

總結(jié) 最值問題在數(shù)學(xué)問題解決中一直占重要地位，具有綜合性.所以利用三角函數(shù)的有界性解三角函數(shù)的最值問題，可以提高學(xué)生對(duì)三角函數(shù)的理解，熟練三角函數(shù)的各種知識(shí)，達(dá)到靈活應(yīng)用的狀態(tài)，提高學(xué)生的核心素養(yǎng).

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