論高中數(shù)學中導數(shù)解題策略及教學方法

時好運

【摘要】運用導數(shù)來解決一些數(shù)學問題之前，需要了解導數(shù)的定義、導數(shù)的幾何意義、導數(shù)的性質(zhì)，然后再結(jié)合數(shù)學中的一些具體技巧方法來綜合處理.本文提出幾點高中數(shù)學中導數(shù)題的有效解題策略和一些教學方法，僅供參考.

【關(guān)鍵詞】高考數(shù)學;導數(shù)的解題策略;教學方法;有效措施

首先需要熟練掌握幾種常見函數(shù)的導數(shù)，比如，求兩個函數(shù)的和、差以及熟記基本導數(shù)公式，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值，函數(shù)的最大值和最小值.教師在引導學生提高解答技巧的時候也要注意考慮班級學生的具體情況，然后再安排教學計劃.

一、教師在教學中的建議

（一）提供有針對性的教學措施

作為教師應(yīng)該引導學生從最基本的教材知識入手，認真閱讀和分析書上的例題，達到舉一反三的效果.其次，教師選取一些比較有典型意義的高考例題來給學生練習，再講解一些通用的解題步驟和解題思路，讓學生達到融會貫通的效果，從而提高考生在導數(shù)這一壓軸題型上的分數(shù)成績.

（二）注意將相通的數(shù)學思想進行融合

利用導數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)，其研究的過程和方法具有普適性、一般性和有效性，可以遷移到其他函數(shù)的研究中.在導數(shù)題中，不論是對某個命題進行討論還是證明，其解題特點一是強調(diào)邏輯的嚴謹性，二需要化歸與轉(zhuǎn)化，而且常常以基本初等函數(shù)為載體，利用方程、不等式、數(shù)學建模與導數(shù)、代數(shù)推理等知識點交匯，考查函數(shù)五大性質(zhì)的應(yīng)用、不等式問題和函數(shù)方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想等.

二、幾種有效的解題策略

在進行高中導數(shù)學習的過程中，教師通常會教給學生很多的方法，但是在課堂中的教學并不能夠讓學生對這些方法融會貫通，所以他們需要在課下對教師傳授的方法進行總結(jié)和升華，使這些方法能夠真正成為自己做題中的有力武器.根據(jù)相關(guān)的調(diào)查和總結(jié)發(fā)現(xiàn)，按照題型特點進行方法總結(jié)是非常有效的.所以學生在進行導數(shù)學習的過程中一般會按照考試中遇到的各種題型進行方法總結(jié).在高中的教學過程中應(yīng)用導數(shù)的主要題型大概有以下幾種：

1.利用導數(shù)求函數(shù)的切線問題

首先我們要討論的便是利用導數(shù)求函數(shù)的切線問題，這種問題是考試中較為簡單的，也是導數(shù)應(yīng)用中最為基礎(chǔ)的，并且求切線問題主要有四種常見的類型.類型一：已知切點，求曲線的切線方程，此類題較為簡單，只需求出曲線的導數(shù)f′（x），并代入點斜式方程即可;類型二：已知斜率，求曲線的切線方程，此類題可利用斜率求出切點，再用點斜式方程加以解決;類型三：已知過曲線上一點，求切線方程，解這種題首先要明確，過曲線上一點的切線，該點未必是切點，故應(yīng)先設(shè)切點，再求切點，即用待定切點法進行求解.

2.利用導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性問題

其次是利用導數(shù)求單調(diào)性的問題，在利用導數(shù)求解單調(diào)性時，我們首先應(yīng)該確定函數(shù)的定義域，再求導數(shù)，通過判斷函數(shù)定義域被導數(shù)為零的點所劃分的各區(qū)間內(nèi)的符號，來確定函數(shù)在該區(qū)間上的單調(diào)性.當給定函數(shù)含有字母參數(shù)時，分類討論難于避免，不同的化歸方法和運算程序往往使分類方法不同，應(yīng)注意分類討論的準確性.另一種類型的題目是利用函數(shù)的單調(diào)性來求解該函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，這種問題在解決的過程中與上邊的單調(diào)性幾乎相似，但是我們一般要注意一些問題，也就是再找到單調(diào)區(qū)間之后的寫法，相互獨立的單調(diào)區(qū)間應(yīng)該用“和”來連接而不應(yīng)該用∪的符號連接.

3.利用導數(shù)求函數(shù)的極值、最值問題

這種題目的困難之處并不在極值和最值的求解，而是前邊的問題無法解決導致后續(xù)問題無法入手.解決極值、最值問題的步驟較為固定，首先我們要對函數(shù)進行求導，確定函數(shù)在給定區(qū)間上的單調(diào)性，如果函數(shù)在該區(qū)間上單調(diào)，那么最值就是端點函數(shù)值，并且在該區(qū)間上沒有極值;如果函數(shù)在該區(qū)間上不單調(diào)，那么有極值存在，而最值可能是端點值也可能是極值點處的函數(shù)值，所以要進行比較.

我們現(xiàn)在通過一個往年的高考壓軸題來進行講解.

題目：已知a∈R，函數(shù)f（x）=-13x3+12ax2+2ax（x∈R）.

（1）當a=1時，求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間.

（2）函數(shù)f（x）是否在R上單調(diào)遞減，若是，求出a的取值范圍;若不是，請說明理由.

（3）若函數(shù)f（x）在[-1，1]上單調(diào)遞增，求a的取值范圍.

（1）通過分析我們發(fā)現(xiàn)這個問題屬于利用函數(shù)的導數(shù)求解單調(diào)區(qū)間的問題，因為函數(shù)的定義域為實數(shù)集，所以利用給出的參數(shù)值我們可以直接求解.

當a=1時，f（x）=-13x3+12x2+2x，∴f′（x）=-x2+x+2.令f′（x）>0，即-x2+x+2>0，即x2-x-2<0，解得-1

（2）該題目也是我們前邊分析的求解單調(diào)性的問題，但是里面含有未知參數(shù)，而本題也是為了討論參數(shù)取值范圍，所以該題要根據(jù)b2-4ac與0的關(guān)系來確定參數(shù)的取值范圍.

若函數(shù)f（x）在R上單調(diào)遞減，則f′（x）≤0對x∈R都成立，即-x2+ax+2a≤0對x∈R都成立，即x2-ax-2a≥0對x∈R都成立，∴Δ=a2+8a≤0，解得-8≤a≤0，∴當-8≤a≤0時，函數(shù)f（x）在R上單調(diào)遞減.

（3）該題規(guī)定了函數(shù)中x的取值范圍，所以我們要根據(jù)x的取值范圍來判定參數(shù)的范圍.

∵函數(shù)f（x）在[-1，1]上單調(diào)遞增，∴f′（x）≥0對x∈[-1，1]恒成立，∴-x2+ax+2a≥0對x∈[-1，1]恒成立，即x2-ax-2a≤0對x∈[-1，1]恒成立.令g（x）=x2-ax-2a，則g（1）=1-a-2a≤0，g（-1）=1+a-2a≤0， 解得a≥13，a≥1， ∴a≥1.

三、結(jié) 語

綜上所述，在高考題中導數(shù)題作為壓軸大題，其難度還是比較大的，所以對其解答時利用導數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)，其研究的過程和方法具有普遍特性，可以融會貫通地運用到其他任何函數(shù)的研究中.

【參考文獻】

[1]陳慶洪.淺析高考數(shù)學中的最值問題[J].福建中學數(shù)學，2012（1）：44-46.

[2]華東師范大學數(shù)學系.數(shù)學分析[M].北京：高等教育出版社，2001.

[3]人民教育出版社中學數(shù)學室.數(shù)學[M].北京：人民教出版社，2004.

[5]高群安.運用導數(shù)巧解題[J].中學數(shù)學，2005（3）：22-23.

[6]徐智愚.用導數(shù)解初等數(shù)學題[J].數(shù)學通報，2000（10）：35.