高考理科數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)微專題

蔡棉峰

高考對函數(shù)圖像的考查常以選擇題或填空題的形式出現(xiàn)，題目難度大都在中等或中等偏上.這部分內(nèi)容對中等及以上程度的學(xué)生是易得分點(diǎn)，對中等以下的學(xué)生是易失分點(diǎn)，因此，進(jìn)行系統(tǒng)的基礎(chǔ)知識、基本技能梳理落實(shí)，題型整理，方法歸納總結(jié)，練習(xí)強(qiáng)化突破訓(xùn)練是很有必要的，也必將是有效的.

一、類型一：由式定圖，即已知函數(shù)解析式選擇圖像（一般難度中等）

應(yīng)對策略：小題小做，“讓選項(xiàng)告訴我們答案”——看差異，找突破，快排除（快，準(zhǔn)，狠）.

解決此類問題的關(guān)鍵是練就“火眼金睛”找差異，一般觀察各選項(xiàng)圖像的以下特征：

1.有無差異明顯的“特殊點(diǎn)”;

2.從函數(shù)的定義域，判斷圖像左右的位置;從函數(shù)的值域，判斷圖像的上下位置（y值的正負(fù)，或變化趨勢）;

3.從函數(shù)的單調(diào)性，判斷圖像的變化趨勢;

4.從函數(shù)的奇偶性，判斷圖像的對稱性;

5.從函數(shù)的周期性，判斷圖像的循環(huán)往復(fù).

例1 （2016·全國卷Ⅰ）函數(shù)y=2x2-e|x|在[-2，2]上的圖像大致為（）.

A

B

C

D

思路分析 觀察四個(gè)選項(xiàng)發(fā)現(xiàn)：

差異1：x=2時(shí)，y值的正負(fù)不一樣，所以驗(yàn)證f（2）=8-e2∈（0，1），故排除A，B.

差異2：觀察C，D兩個(gè)選項(xiàng)，發(fā)現(xiàn)單調(diào)性不一樣，只需驗(yàn)證x>0時(shí)的情況即可.設(shè)g（x）=2x2-ex，則g′（x）=4x-ex.又g′（0）<0，g′（2）>0，由零點(diǎn)存在定理知，g（x）在（0，2）內(nèi)至少存在一個(gè)極值點(diǎn)，排除C.故選D.

例2 （2013·全國Ⅰ卷11）已知函數(shù)f（x）=-x2+2x，x≤0，ln（x+1），x>0. 若|f（x）|≥ax，則a的取值范圍是（）.

A.（-∞，0]

B.（-∞，1]

C.[-2，1]

D.[-2，0]

思路分析 第一步：問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=|f（x）|的圖像整個(gè)在函數(shù)y=ax圖像的上方.

第二步：數(shù)形結(jié)合.首先做出y=f（x）的圖像，再翻折得到y(tǒng)=|f（x）|的圖像，以其“靜”制約函數(shù)y=ax圖像之“動(dòng)”.直線y=ax是一條過原點(diǎn)，斜率為a的動(dòng)直線，繞著原點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)直線y=ax，不難發(fā)現(xiàn)滿足題意的兩條臨界直線為：l1：y=0（此時(shí)a=0）;l2：與曲線y=x2-2x（x≤0）相切的直線，

令x2-2x=axx2-（2+a）x=0，由Δ=（2+a）2=0，解得a=-2.故選D.

例3 （河北省衡水中學(xué)2018年高考押題（三））已知函數(shù)f（x）=-x2-4x+5x≤1，lnx，x>1， 若關(guān)于x的方程f（x）=kx-12恰有四個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（）.

A.12，e

B.12，e

C.12，ee

D.12，ee

思路分析 第一步：問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=f（x）的圖像與函數(shù)y=kx-12圖像有四個(gè)不同的交點(diǎn).第二步：數(shù)形結(jié)合.首先做出y=f（x）的圖像，以其“靜”制約函數(shù)y=kx-12圖像之“動(dòng)”.

動(dòng)直線y=kx-12恒過定點(diǎn)A0，12，轉(zhuǎn)動(dòng)直線不難發(fā)現(xiàn)：當(dāng)直線過點(diǎn)B（1，0）時(shí)，與y=f（x）的圖像有三個(gè)交點(diǎn);當(dāng)直線與y=f（x）的“右段”圖像相切時(shí)也有三個(gè)交點(diǎn)，介于這兩條臨界直線之間則有四個(gè)不同的交點(diǎn).經(jīng)計(jì)算：kAB=0--121-0=12.

設(shè)y=kx-12與f（x）“右段”函數(shù)f（x）=lnx相切于點(diǎn)（x0，lnx0）.

∵f′（x）=1x，∴k切=1x0，∴1x0=lnx0--12x0-0

lnx0=12x0=e12k切=ee，

∴k∈12，ee.故選C.

二、類型二：與奇偶性，單調(diào)性（利用導(dǎo)數(shù)），周期性，對稱性等的結(jié)合考查不等式，零點(diǎn)，極值等問題

應(yīng)對策略：利用函數(shù)的單調(diào)性，奇偶性，對稱性和周期性可得到函數(shù)圖像的大體形狀，然后利用圖像的直觀性解題.

例4 （吉林省吉大附中2018屆高三第四次模擬考試）已知定義域?yàn)镽的函數(shù)f（x）既是奇函數(shù)，又是周期為3的周期函數(shù)，當(dāng)x∈0，32時(shí)，f（x）=sinπx，則函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，6]上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是.

思路分析 準(zhǔn)確作圖是關(guān)鍵！由f（x）=sinπx，得伸縮變化后的正弦曲線周期為2，易做出x∈0，32的圖像，再由奇函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)對稱易做出x∈-32，0的圖像，這樣就得到一個(gè)周期的完整圖像，但要注意到這是開區(qū)間，圖像不包含三端點(diǎn)，要單獨(dú)求三端點(diǎn)的函數(shù)值，很容易忽略，這是易錯(cuò)點(diǎn).由奇函數(shù)得f（0）=0，f32=-f-32，再由T=3得f32=-f-32，所以得f32=0，最后利用周期性圖像“周而復(fù)始”做出區(qū)間[0，6]的圖像，與x軸共有9個(gè)交點(diǎn)，所以共有9個(gè)零點(diǎn).