圓的切線的兩種證明方法

姜百軍

【摘要】經過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線;如果圓心到直線的距離等于圓的半徑，那么這條直線是圓的切線.

【關鍵詞】切線;切線判定;證明;分析;點評

在初中九年級數學上冊“圓”這一章中，學生們學習了圓的切線，但如何證明一條直線是不是圓的切線，困擾著許多學生，下面筆者就結合自己的教學實踐，談談圓的切線的兩種證明方法.

一、用“圓的切線判定定理”證明

在人教版九年級數學上冊第二十四章“圓”中，在“直線與圓的位置關系”這一節，給出了圓的切線判定定理：“經過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線”.我們可以用這條定理來證明一條直線是圓的切線.

例1 如圖所示，AB是⊙O的直徑，BC是⊙O的切線，切點為B，OC平行于弦AD，求證：DC是⊙O的切線.

分析 此類證明切線的問題，在已知條件中告訴了直線與圓的交點D，如果證明了DC是⊙O的切線，那么D點就是切點.因此，只需連接OD，因為OD是⊙O的半徑，所以只需證明OD⊥DC，就可得出DC是⊙O的切線.

證明 連接OD.

∵AD∥OC，

∴∠A=∠COB，∠ADO=∠DOC.

又∵OA=OD，

∴∠A=∠ADO，

∴∠DOC=∠COB.

又∵OD=OB，OC=OC，

∴△ODC≌△OBC（SAS），

∴∠ODC=∠OBC.

又∵BC是⊙O的切線，

∴∠OBC=90°，

∴∠ODC=90°，

∴DC是⊙O的切線.

二、用“圓的切線定義”證明

直線與圓的位置關系中，我們很容易得到“如果直線到圓心的距離等于圓的半徑，那么這條直線是圓的切線”，這個我們可以作為圓的切線的定義，用來證明一條直線是不是圓的切線.

例2 如圖所示，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A的平分線交BC于點D，以D為圓心，DB的長為半徑畫圓.

求證：AC是⊙D的切線.

分析 要證AC是⊙D的切線，題目中沒有告訴AC與⊙D的交點，因此，不能用圓的切線判定定理來證.我們可以用圓的切線定義來證明，作點D到AC的垂線段DF，垂足為F，然后證明DF與圓的半徑BD相等，即可說明AC是⊙D的切線.

證明 過點D作DF⊥AC，垂足為F.

∵AD平分∠BAD，

∴∠BAD=∠DAC.

又∵∠ABC=∠AFD=90°，AD=AD，

∴△ABD≌△AFD（AAS），

∴DF=BD，

∴AC是⊙D的切線.

點評 比較圓的切線的兩種證法，當題目已知條件中告訴了“切線”與圓的交點（例1中告訴了交點D），用圓的切線判定定理（經過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線），連接交點和圓心，證明連接的半徑垂直于這條直線，就可說明這條直線是圓的切線，口訣是“連半徑，證垂直”;當直線與圓的公共點不明確時（例2中不知AC與圓的交點），用切線定義（如果圓心到直線的距離等于圓的半徑，那么這條直線是圓的切線）去證，過圓心作該直線的垂線段，證明垂線段等于半徑，這條直線就是圓的切線，口訣是“作垂直，證相等”.