等腰三角形有關問題的一點心得

劉春發　劉秀明

【摘要】等腰三角形是平面幾何學習的一個重點難點內容.平面幾何中的很多問題同等腰三角形有關.本文主要講述同等腰三角形有關問題的解決方法.

【關鍵詞】等腰三角形;問題;解題方法

一、構造有公共頂點的兩個等腰三角形

具體到解題的時候，可以先找好黃金點，然后以黃金點為頂點，另外再作出一個與原等腰三角形相似的三角形.

什么是黃金點呢？黃金點就是等腰三角形的頂點.什么叫與原等腰三角形相似的三角形呢？原等腰三角形相似的三角形就是另作一個等腰三角形，使這個等腰三角形同原等腰三角形的頂角相同.

因為平面圖形是由點和線組成，我們在思考同等腰三角形相關問題時，抓住了黃金點，就找到了問題的切入點.

例1 已知：如圖1所示，AB=AC，∠ABD=∠ACD，求證：AD平分∠CDE.

圖1

圖2

解 如圖2所示，在CD上取點F，使得CF=BD，則可證△ABD≌△ACF，進而可以構造出△ABC和△ADF形成了有公共頂點的兩個相似的等腰三角形.此題思考的切入點在以點A為頂點構造有公共頂點的兩個相似的等腰三角形，點A為黃金點.

例2 已知：如圖3所示，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，AD⊥BD，求證：∠BDC=45°.

圖3

圖4

提示 此題的黃金點為點C.此題的解題方向是如圖4所示的以點C為頂點構造有公共頂點的兩個相似的等腰直角三角形.等腰直角三角形的題經常可以考慮構造有公共頂點的兩個相似的等腰直角三角形.

例3 如圖5所示，∠ABD=∠ADB=15°，∠CBD=45°，∠CDB=30°.求證：△ABC是等邊三角形.

圖5

圖6

提示 此題的黃金點為點B.此題的解題方向是如圖6所示的以點B為頂點構造有公共頂點的兩個相似的等邊三角形.等邊三角形的題經常可以考慮構造有公共頂點的兩個相似的等邊三角形.

二、利用黃金點、黃金線、黃金垂的思路來解決同等腰直角三角形有關的問題

黃金點、黃金線、黃金垂是在解決等腰直角三角形問題中的一個通法.黃金點就是指等腰直角三角形的頂點，黃金線就是指過等腰直角三角形的頂點非直角邊的任一直線，黃金垂是指過等腰直角三角形的頂點向黃金線所作的垂線.

例4 如圖7所示，四邊形ABCE中，AB=BC，AB⊥BC，CE⊥AE，BD⊥AE于D，求證：BD-CE=AD.

圖7

圖8

分析 此題的黃金點就是點B，黃金線就是BD，黃金垂就是AD，CF.此題如果將黃金垂作出來（如圖8所示），就變得很容易了.

例5 如圖9所示，△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，D為BC上一點，過D作DE⊥AD，且DE=AD，連BE，求∠DBE的度數.

圖9

分析 此題的黃金點就是點D，黃金線就是BC，黃金垂就是AG，EF.此題如果將黃金垂作出來（如圖10所示），就找到解題的切入點了.

圖10

圖11

當然，此題還有其他解法，比如，圖11以點D為頂點構造有公共頂點的兩個相似的等腰直角三角形.

一般而言，等腰直角三角形問題有兩種思考途徑.途徑一，構造有公共頂點的兩個相似的等腰直角三角形.途徑二，黃金點、黃金線、黃金垂的思路.

三、遇45°角構等腰直角三角形

出現一個45°角（圖12），一般有4種構造等腰直角三角形的方法.如圖13、圖14、圖15、圖16所示.

圖12

圖13

圖14

圖15

圖16

上面這4種構造等腰直角三角形的方法，有一個共同特點，那就是作垂線.這種作垂線的思考方法可以稱為是45°角的黃金垂.不過在構等腰直角時，有時可以構造小的等腰直角三角形，有時需要構造大的等腰直角三角形.

例6 如圖17所示，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，點E為△ABC外一點，且∠CEB=45°，求證：AE⊥BE.

圖17

圖18

分析 此題的解題突破口就是以45°角構造一個小的等腰直角三角形（如圖18所示）.

例7 如圖19所示，直線l交x軸、y軸分別于A，B兩點，A（4，0），B（0，4），C是線段AB上一點，C點的橫坐標為3，P是y軸正半軸上一點，且滿足∠OCP=45°，求P點坐標.

圖19

圖20

分析 此題的解題關鍵點就是以45°角構造一個大的等腰直角三角形（如圖20所示）.

四、遇60°角構等邊三角形

出現一個60°角（圖21），一般有2種構造等邊三角形的方法.如圖22、圖23所示.

圖21

圖22

圖23

上面2種構造等邊三角形的方法，有一個共同特點，那就是作60°角.不過在構等邊三角形時，有時可以構造小的等邊三角形，有時需要構造大的邊三角形.

例8 如圖24所示，已知點D為等腰直角△ABC內一點，∠CAD=∠CBD=15°.E為AD延長線上的一點，且CE=CA，求證：AD+CD=DE.

圖24

圖25

分析 此題的解題關鍵點就是先求出∠EDC=60°，然后以60°角構造一個小的等邊三角形（如圖25所示）.

例9 如圖26所示，D，E分別為等邊△ABC的邊AB，BC上的點，且AD=BE=13AC，AE與CD交于點P.求證：BP⊥CD.

圖26

圖27

分析 此題的解題關鍵點就是先求出∠APD=60°，然后以∠APD構造一個大的等邊△APE，再由面積關系推出BE=2EP，還可以分析出∠PEB=60°，再以∠PEB構造一個大的等邊△EFB（如圖27所示）.