基于TI手持技術下的定點問題探究

楊剛　曹永生

【摘要】本文以一個猜想為例，運用TI-Nspire CX CAS圖形計算器的CAS系統，與學生一起探究并驗證猜想：過橢圓上任意一點，分別連該點和橢圓的左右頂點交橢圓的準線于M，N兩點，以MN為直徑的圓過定點.進而，將這一結論推廣到一般的情形，然后論證在雙曲線中也有類似的結論.

【關鍵詞】橢圓;雙曲線;定點;CAS系統;高中數學

下面筆者將以一個猜想為例，引導學生們一起探究，培養學生分析問題，解決問題的能力，進而將特殊情形推廣到一般的情形，幫助學生養成善于歸納的良好習慣.

問題 點A，B為橢圓的左右頂點，點P是橢圓x24+y2=1上異于A，B的任意一點，直線AP，BP分別交橢圓的右準線x=43于M，N兩點，以MN為直徑的圓是否過定點.

代數證明 設點P（m，n）（m≠±2）為橢圓上任意一點，點M43，a1，N43，b1分別為直線AP，BP與準線x=43的交點，由題意AP的方程為y=nm+2（x+2），聯立y=nm+2（x+2）與x=43得a1=nm+243+2，同理有b1=nm-243-2，因此，以MN為直徑的圓的方程為x-432+y-a1+b122=a1-b122，化簡可得x-432+y2-（a1+b1）y+a1b1=0，利用CAS系統強大的計算功能可以算出a1b1=-13（見圖1），若要圓經過定點只需要y=0即可，此時x=3或x=533，說明我們的猜想漏解了，再回過頭去看圖像，不難發現圓在變化過程中確實經過兩個定點（3，0）和533，0，且這兩個點恰好關于準線對稱.

圖1

代數論證：設點P（m，n）（m≠±a）為橢圓上任意一點，點Ma2c，a2，Na2c，b2分別為直線AP，BP與準線x=a2c的交點.由題意知AP的方程為y=nm+a（x+a），聯立y=nm+a（x+a）與x=a2c有a2=nm+a（a2c+a），同理有b2=nm-aa2c-a，因此，以MN為直徑的圓的方程為x-a2c2+y-a2+b222=a2-b222，化簡可得x-a2c2+y2-（a2+b2）y+a2b2=0，利用CAS系統強大的計算功能可以算出a2b2=-b4c2（見圖2）.

圖2

若要圓經過定點只需要y=0即可，此時x=c或x=a2+b2c，以MN為直徑的圓確實經過兩個定點（c，0）和a2+b2c，0，且這兩個點恰好關于準線對稱.

上面的論述表明橢圓有此結論，雙曲線是否也有類似結論呢？請讀者思考……

結束語

借助圖形計算器強大的運算功能幫助學生克服計算量大，計算復雜的問題，讓學生有勇氣挑戰自我，節省很多不必要的計算，保證思維的流暢性，激發學生學習數學的熱情，在實際操作中領悟數學的真諦.

【參考文獻】

[1]徐勇.高中數學實驗指南（必修部分）[M].廣州：廣東高等教育出版社，2011.

[2]黃元華，黃安成.激活中學數學課堂[M].西安：陜西師范大學出版總社，2015.