Thomas數組的再發現

【摘要】本文通過對Chaudhari-Deshpande數組和Thomas數組研究，提出了雙色數和完美雙色數的概念.

【關鍵詞】Thomas數組;雙色數;完美雙色數

1996年印度數學家Chaudhari和Deshpande發現了一組具有奇妙特性的連續數956～968（Chaudhari-Deshpande數組），這組數的奇妙性在于：該組數中每個數的平方數，平均分拆成兩部分的分段和是一個完全平方數，并且這些完全平方數的算術平方根從43一個不漏地到31也是一組連續數.

如，9562=913936913+936=1849=432.

美國數學家Thomas對此做了進一步研究，發現另一組連續數9859～9900（Thomas數組）具有與Chaudhari-Deshpande數組完全相同的性質.

如，98842=97693456，9769+3456=13225=1152.

現在我們將Chaudhari-Deshpande數組和Thomas數組的平方數的性質一般化，給出雙色數的概念.

定義1：如果一個k（k≥2）次方冪數，將其平均分拆成r部分的分段和也是一個k次方冪數，則稱其為k階r元雙色數.特別地，當r=k時，稱其為k階純雙色數.

如，121=112，1+2+1=4=22，121是二階三元雙色數;

7396=862，7+3+9+6=25=52，73+96=169=132，7396既是二階四元雙色數，又是二階純雙色數;

35937=333，3+5+9+3+7=27=33，35937是三階五元雙色數;

357911=713，35+79+11=125=53，357911是三階純雙色數.

要在n位數中找一個雙色數是非常容易的事，因為1+0+…+0=1n，所以10n是一個n階（n+1）元雙色數;或在36后面添加若干個0都可以得到大量的雙色數，這些10的倍數的雙色數只能算作平凡雙色數.現在要問：在任意n位數中都存在非平凡雙色數嗎？

先看一下能否找到扎堆的雙色數.

有趣的是，著名的楊輝三角中就有幾個.

不難發現，Chaudhari-Deshpande數組956～968和Thomas數組9859～9900的平方數都是二階雙色數.事實上，可找到批量“生產”偶數階雙色數的方法：n取足夠大的正整數，S在kk2×10n≤S

一、四階雙色數

n取不小于4的正整數，S在42×10n與43×10n之間取整數值，則（10n-S）4是四階雙色數.

繼續對n取值，可得到更多的四階雙色數.

二、六階雙色數

n取不小于8的正整數，S在63×10n與64×10n之間取整數值，則（10n-S）6是六階雙色數.

n=9，S=39，38.9999999616，9999999626都是六階純雙色數，請讀者自己驗證.

同樣，繼續對n取值，可得到更多的六階雙色數.

要得到高于六階的偶數階雙色數，可將n取得足夠大，參照上述方法如法炮制.

下面我們再討論一類特殊的雙色數.

如，7396=862，7396所有可能的平均分拆方法只有兩種，且每種分拆的分段和都是完全平方數.

再看Thomas數組9859～9900中連續的兩個數9884、9885的平方數：

97693456、97713225所有可能的平均分拆方法只有三種，且每種分拆的分段和都是完全平方數.

另外，99912029035741034256=999784，這個20位數的所有平均分拆方法只有5種：分成20段、10段、5段、4段、2段.而

不難發現20段、10段、5段、4段的分段和都是完全平方數，再看2段之和：

9991202903+5741034256=15732237159不是一個完全平方數，有點美中不足，可惜！

下面給出完美雙色數的概念：

定義2：一個n位（n為合數）k階非平凡雙色數所有平均分拆的分段和都是k次方冪數，稱這個數為完美雙色數.

令人驚奇的是Thomas數組9859～9900中連續的兩個數9884、9885的平方數都是完美雙色數.且三種不同平均分拆的分段和的平方根也是連續數，分別是114、115;15、16;6、7.

筆者目前找到的最小的完美雙色數是1521.萬以內的完美雙色數一共有多少個？是否存在奇數階的完美雙色數？請讀者思考.

關于雙色數，筆者提出以下問題，供讀者思考：

（1）證明或否定任意位數中都存在非平凡雙色數;

（2）證明或否定完美雙色數有無窮多個;

（3）證明或否定存在任意階的非平凡雙色數.

【參考文獻】

[1]俞潤汝.Chaudhari-Deshpande數組的廣義解[J].數學通報，2006（2）：53-54.

[2]鄭成生.雙色完全平方數的構造[J].中學數學月刊，1997（9）：39-40.