基于偏最小二乘法的翼型穩健設計替代模型

(西南科技大學 計算機科學與技術學院，四川 綿陽 621010)

0 引言

近幾十來世界航空航天技術取得了迅猛的發展，航空航天已成為大國間的主要競技場之一，也是國家綜合實力的體現，而飛行器的設計又是航空航天的重要研發領域。機翼的設計是整個飛行器設計的核心之一，而翼型又是機翼設計的核心。如何快速、低成本地獲得一個性能高效且穩定的翼型成為了研究人員關注的重點之一。

翼型的傳統設計方法主要是通過風洞對研究人員建立的不同機翼模型進行試驗，通過試驗數據分析來選擇最佳翼型，該種方法存在成本高、試驗周期長等缺點。此外傳統翼型設計中，設計人員在借鑒其過去設計經驗時，可能會引起單點設計問題如對單一點馬赫數處的阻力進行了優化設計，但引發了該點臨域馬赫數處的阻力出現劇烈波動的情況。在超聲速翼型的設計中單點設計帶來的性能波動會更加劇烈，在Hicks和Johnson的研究[1]中對單點設計問題進行了詳細介紹。

在之后的研究中，研究人員們將計算流體動力學(Computational Fluid Dynamics，CFD)等相關數值計算用于翼型穩健設計。雖然通過CFD軟件進行氣動性能計算能降低傳統風洞試驗的成本，但是其計算時間仍然非常漫長。而通過將替代模型與CFD計算相結合的方法來進行翼型穩健設計，能夠在保證精度需求的情況下大大縮減計算時間，能在基準翼型的基礎上獲得一個性能更優的穩健翼型。

1 翼型穩健設計及其目標模型

翼型的穩健設計就是要對選定的基準翼型進行優化，以最終獲得一個對環境因素變化不敏感的穩健翼型。因此在翼型設計的初始階段就要明確穩健設計針對的噪聲因素，通過穩健設計方法來獲取一組可控因素的最佳組合，從而實現穩健翼型對噪聲因素不敏感，達到翼型性能高且穩定的目的。

飛行器翼型在非設計狀態下常出現性能不穩定現象。本文以一馬赫數區間為非設計狀態因素，進行RAE2822基準翼型的穩健設計，使穩健翼型的阻力系數對馬赫數區間范圍內的變化不敏感。達到不但要降低翼型的阻力還要實現翼型性能穩定即不發生阻力系數劇烈波動的目的。該目的在本文中通過對穩健翼型在馬赫數區間(Ma∈[MaminMamax])的阻力系數的均值和方差進行評價，本文穩健設計參考了文獻2[2]中的目標模型，本文目標模型如下所示：

(1)

式中，μ為阻力系數的均值；σ2為阻力系數的方差；D為翼型的幾何外形參數；T為外形的幾何約束；Cl為升力系數約束條件；R為雷諾數約束條件；α為攻角；Ma為選定的馬赫數變化區間。

在穩健設計目標模型中翼型的升力系數和阻力系數都是關于翼型外性設計變量、攻角以及馬赫數的函數。穩健設計的目標是獲得一個在給定的馬赫數變化區間內，較基準翼型的阻力系數均值和方差更小的穩健翼型。將升力系數和雷諾數作為約束條件，避免其對最終阻力系數結果產生影響。使用偏最小二乘法(Partial Least Squares，PLS)建立阻力系數關于翼型外形設計參數(D)和馬赫數(Ma)的替代模型來對阻力系數進行預測。PLS替代模型可解決使用CFD軟件計算阻力系數Cd時計算量過大、耗時長，甚至無法求解的問題,并能保證最終結果滿足一定的精度要求。使用PLS替代模型的預測結果來獲得目標模型≠2+...2的近似值，目標模型的近似值求解公式如下所示：

(2)

2 翼型穩健設計流程及各步驟原理

本文中使用偏最小二乘法建立替代模型進行翼型穩健的流程主要分為三大關鍵步驟：確定試驗設計方法、建立替代模型和進行遺傳優化。穩健設計詳細步驟與設計流程圖(圖1)如下所示：

(1)確定穩健設計的優化目標模型。

(2)進行翼型參數化，確定外形設計因素的個數。

(3)確定試驗設計方法及試驗設計的因素數及其水平數，生成對應樣本點數據。

(4)對試驗設計樣本點翼型外形生成對應網格并進行雷諾數約束下的CFD計算，獲得樣本點對應的阻力系數Cd值。

(5)根據CFD計算出的樣本Cd的結果，使用偏最小二乘法建立替代模型。

(6)使用偏最小二乘法建立的替代模型與遺傳算法結合進行尋優，得到穩健翼型外形設計參數水平值的最佳組合。

(7)計算穩健翼型外形參數所對應翼型在設定的馬赫數范圍內的阻力系數的均值與方差，并與基準翼型RAE2822進行比較，驗證穩健翼型性能是否更佳。

圖1 PLS翼型穩健設計流程圖

穩健翼型設計流程中各步驟詳細介紹：

2.1 翼型外形設計參數化

在翼型外形參數化步驟中采用當前常用的Hicks-Henne[3]型函數進行線性疊加的方法來獲取樣本翼型的外形，樣本翼型的外形是由基準翼型和型函數及其相關系數疊加生成的，Hicks-Henne生成樣本翼型的公式如下所示：

(3)

式中，Fbas為基準翼型的外形數據，Pi為型函數的相關系數，即翼型外形參數的設計變量，n為選取的設計變量的個數，fi(x)為Hicks-Henne的型函數。Hick-Henne型函數的表達式如下：

(4)

2.2 試驗設計方法的選取

試驗設計[4](Design of Experiment)是用于對試驗進行合理安排，使樣本點更具代表性，減少試驗次數的方法。常用的試驗設計方法主要有：正交試驗設計方法、均勻設計法、超拉丁方抽樣法等。本文采用由我國方開泰教授和數學家王元提出的均勻設計法。均勻設計法與正交試驗法相比，只考慮了試驗點在試驗設計范圍內均勻分布，無需考慮正交試驗中整齊可比的要求，其試驗點的均勻性更佳，將其用于翼型穩健設計能大大減少樣本點的數量。在本文中，通過馬赫數和翼型外形參數的因素數及水平數來確定最合適的均勻設計表，來進行試驗樣本的安排。

2.3 樣本翼型的網格生成及其CFD計算

對樣本數據表中每一行的一個翼型樣本使用Gridgen軟件進行對應的二維網格生成，網格結構采用C型結構。在進行翼型樣本網格生成前，需要先建立RAE2822基準翼型的結構化二維網格，為后續CFD結果正確性驗證做準備。RAE2822基準翼型的C型網格如圖2所示。

圖2 RAE2822基準翼型網格

生成樣本點翼型的網格后，開始進行對應網格的CFD[5]計算，使用氣動計算中常用的Fluent軟件完成。在樣本翼型CFD計算前，先使用Fluent計算RAE2822基準翼型網格在雷諾數R6=6.5×106，Ma=0.73，α=3.19時的翼型表面壓力分布，通過和1979年關于RAE2822的試驗報告[6]中的翼型表面壓力分布結果進行對比，來驗證CFD計算的正確性。對比結果如圖3所示，結果表明氣動分析結果正確，符合精度要求。

圖3 RAE2822翼型表面壓力分布CFD計算和試驗報告結果對比

2.4 建立偏最小二乘替代模型

建立偏最小二乘替代模型的目的是為了降低使用Fluent軟件進行CFD計算時的工作量，減少求解時間。通過PLS進行回歸擬合，能最快得到阻力系數目標模型值。偏最小二乘法又稱偏最小二乘回歸[7]，其是一種多對多的線形回歸建模方法。當所求解目標的自變量和因變量數量多，且彼此存在多重相關性，而樣本的數量卻較少時，用偏最小二乘法獲得的模型比傳統回歸模型，如主成分回歸分析模型要更優，能提供更加深入和豐富的信息。

2.4.1 偏最小二乘法的建模原理：

假設有m個自變量{x1,x2…,xp}和n個因變量{y1,y2…,yp}。為了研究自變量x和因變量y之間的統計關系,設有k個樣本點,由此獲得了自變量與因變量的數據集X={x1,x2…,xp}和Y={y1,y2…,yp}。

偏最小二乘法首先分別在自變量集合X與因變量集合Y中分別提取出第一成分t1和u1(簡而言之，t1是x1,x2…,xp的一個線形組合,u1是y1,y2…,yq的一個線形組合)。在提取這兩個第一成分時,為了回歸分析的需要,有兩個需要格外關注的要求:

(1)t1和u1應盡可能多地分別提取出自變量集和因變量集中的變異信息;

(2)t1和u1間的相關程度要達到最大。

上述兩個要求的目的是要使得t1和u1盡可能好的代表數據集合X和Y,同時自變量的第一成分t1對因變量的第一成分u1還要具有最強的解釋能力。

在第一成分t1和u1被提取后，使用偏最小二乘法分別進行X對t1的回歸以及Y對u1的回歸。如果回歸方程能達到滿意的精度，則算法中止；否則將利用X被t1解釋后的殘余信息以及Y被u1解釋后的殘余信息進行第二成分的提取，直到能達所需要的精度為止。若最終對自變量X共提取出r個成分t1,t2…,tr，偏最小二乘法將通過建立y1,y2…,yq與t1,t2…,tr的回歸,然后再表達成y1,y2…,yq關于原變量x1,x2…,xp的回歸方程。

2.4.2 偏最小二乘法的簡化算法步驟：

本文采用文獻[10]中偏最小二乘的簡化算法，能極大的減少計算時間，減小程序代碼的編寫難度。

為簡便計算，設m個自變量{x1,x2…,xp}和n個因變量{y1,y2…,yq}均為歸一化后的變量。歸一化方法采用min-max方法，如下所示：

(5)

式中，i為變量范圍內的一個具體變量的下標；j為變量類型下標(自變量或因變量)xjmax；xjmin和分布為自變量或因變量的最大值和最小值。

完成歸一化后，將自變量集和因變量集的w次數據矩陣分別記為：

PLS簡記算法的簡要步驟如下：

(6)

最終的n個因變量的偏最小回歸方程為 ：

yj=aj1x1+…+ajmxm,j∈[1,m]

(7)

偏最小二乘法的詳細步驟、推導過程及其Matlab程序代碼可參考文獻[10]。偏最小二乘法還可建立二次、三次等高階多項式回歸模型。本文中為獲得更好的模型擬合效果，采用偏最小二乘法建立三次多項式回歸模型。

2.5 遺傳算法優化

本文采用遺傳算法進行穩健翼型的尋優。采用馬赫數按等差數列生成，其余翼型設計變量在指定范圍內隨機生成的辦法來進行遺傳算法優化求解。

遺傳算法[11]是一種自適應全局搜索算法。其參考達爾文的生物進化論，通過模擬自然界中生物種群的進化發展過程，來盡可能得到全局最優解。

本文中對目標模型進行近似表示，來進行遺傳算法求解：

(8)

式中，NMa為選取的馬赫數區間范圍內的馬赫數的個數，D為翼型的外形參數變量。

在遺傳算法算法計算過程中，對多個變量使用二進制的形式進行編碼。遺傳算法中種群的數量決定了遺傳算法的多樣性，種群數目越多則多樣性越好，但計算量也會增加，降低運行效率。然后數目過少又可能出現局部最優解，因此需要研究人員根據具體問題進行種群數目的確定，一般種群數目最小應大于等于20。在遺傳算法中變異概率(Pm)對種群的影響應遠遠小于交叉概率(Pc)，Pc和Pm的相關取值分析見文獻[12]，Pc一般取值范圍為0.4～0.99，Pm取值范圍為0.001～0.1。罰函數采用的是翼型最大相對厚度的幾何約束，即最大相對厚度的最大值和最小值，使用罰函數能保證最終翼型外形的合理性，以便獲得最優解。將PLS替代模型和遺傳算法結合以獲得穩健翼型的外形設計參數的一組最佳組合，再使用Hicks-Henne型函數進行處理，即可獲得穩健翼型的外形數據。

3 試驗樣例及其結果分析

以對RAE2822基準翼型進行穩健設計來對偏最小二乘法建立的替代模型的效果進行驗證。選擇在馬赫數Ma∈[0.7,0.8]，雷諾數Re=6.5×106,翼型升力系數Cl=0.8，翼型最大相對厚度0.1≤d≤0.12的條件下，進行基準翼型的穩健設計。在Hicks-Henne翼型參數化時采用十個設計參數變量(d1～d10)進行翼型外形的表示(上下翼面各取五個參數變量并分別確定各設計變量的取值范圍，如d1∈[-0.006,0.006]等)。馬赫數是設計中除了翼型外形十個設計變量外的另一個設計變量。

完成樣本CFD計算后進行偏最小二乘替代模型的建立。在PLS替代模型建立前先求取PLS模型三次多項式各系數的值，并進行保存。PLS替代模型中取NMa=1 000，即按公差為0.000 1在Ma∈[0.7,0.8]，選擇種群規模M= 100,交叉概率Pc= 0.8,變異概率為pm= 0.1，進化代數步長Pd= 50，初始種群進化代數=Pd。當某進化步長的整數倍時的最佳翼型的目標模型值與臨近左右步長的最佳翼型的目標模型值相等時，即目標模型值不再發生變化時，停止種群進化迭代。將穩健翼型的外形設計變量組合的值帶入Hicks-Henne中，獲得穩健翼型的外形數據，并生成對應的二維結構化網格。按公差為 0.001在中生成100個馬赫數，使用Fluent計算穩健翼型分別在這100個馬赫數以及升力系數、雷諾數約束下的Cd值，計算出阻力系數的均值與方差并與基準翼型在同樣條件下的均值和方差進行對比，以驗證穩健翼型的效果是否更優。

圖4 遺傳算法進化次數及對應目標模型近似值

遺傳算法計算環境為個人PC，硬件環境：處理器 2.7 GHz Intel Core i7，內存16GB 2133MHz LPDDR3；軟件環境 Python 3.7.1，PyCharm 2018。遺傳算法的進化次數的計算結果如圖4所示，可以發現在進化次數為250次時，第200次的目標模型的近似值已與第150次和第250次的值相等，不再發生改變，已求得遺傳算法的最優解，停止進化迭代。遺傳算法的最終進化次數250次，用時112分鐘30秒。遺傳算法的最終結果如表1，可以看到偏最小二乘法建立的替代模型與遺傳算法結合獲得的穩健翼型在時，穩健翼型阻力系數的均值與方差都明顯小于RAE2822基準翼型的數值，說明使用偏最小二乘建模方法獲得的穩健翼型的效果更佳，偏最小二乘法建立替代模型的方法確實可以用于翼型的穩健設計之中。

表1 PLS穩健翼型與基準翼型阻力系數均值和方差對比

圖5為PLS穩健翼型與RAE2822基準翼型的外形對比，可明顯發現穩健翼型的厚度有所減小，上表面更為平坦，因此其出現阻力發散的臨界馬赫數將提高，最大相對厚度的減小能帶來翼型波阻的減小，使性能得到提升。此外穩健翼型下表面后緣出現了一個非常明顯的向里凹進去的反曲斷，表明穩健翼型具有了明顯的超臨界翼型的特征，后緣反曲斷的出現使后緣的升力增加，彌補了由于上表面平坦而引發的升力不足問題。在圖6翼型性能比較圖中，可明顯發現PLS穩健翼型在升力系數和雷諾數約束下且處于設定范圍時，其阻力系數明顯小于基準RAE2822翼型的阻力系數值。從最終結果來看，PLS建立的替代模型達到了翼型穩健設計的目標。

圖5 PLS穩健翼型與基準翼型的外形對比

圖6 PLS穩健翼型與基準翼型的性能對比

4 結論

本文使用偏最小二乘法建立替代模型來解決傳統飛行器翼型設計中存在的單點設計和CFD計算量過大，風洞試驗成本高的問題。以獲得某一區間變化的馬赫數(即外界環境不穩定)下翼型阻力系數均值和方差最低的翼型穩健設計為研究背景，通過偏最小二乘法建立替代模型來完成翼型的穩健設計，實現在保證一定精度下，穩健設計快捷和簡易的目標。結果表明，采用PLS替代模型方法，能有效實現本文翼型穩健設計計算成本低，計算快，精度能保證的目的。

在后續的研究中，還可將PLS替代模型方法用于機翼的穩健設計以及風力機葉片穩健設計、發動機葉片穩健設計中。飛行器翼型的穩健設計結果可為后續機翼和整機的穩健設計打下了良好的基礎。偏最小二乘替代模型在穩健設計上具有廣闊的應用前景，值得深入研究。