模量面內(nèi)變化的梯度功能彈性薄層接觸應(yīng)力分析

金明生 康 杰 董曉星 王禮明 計(jì)時(shí)鳴

浙江工業(yè)大學(xué)特種裝備制造與先進(jìn)加工技術(shù)教育部/浙江省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，杭州，310023

0 引言

現(xiàn)有化學(xué)機(jī)械拋光、流體拋光等傳統(tǒng)或新興超精密加工技術(shù)在取得相關(guān)技術(shù)突破的同時(shí)，也存在不可忽視的問(wèn)題，其中材料均勻去除問(wèn)題就需要解決。由Preston方程可知，接觸應(yīng)力不均以及相對(duì)速度分布的非均勻所引起的材料去除非均勻是加工平坦度差的重要根源。LIN等[1]、呂玉山等[2]與楊爭(zhēng)雄等[3]均指出了應(yīng)力分布對(duì)材料均勻去除的影響。同時(shí)，復(fù)合材料在拋光領(lǐng)域的應(yīng)用日漸增長(zhǎng)。白林山等[4]采用均相沉淀法制備了SiO2/CeO2復(fù)合磨料，改善了藍(lán)寶石晶片的表面質(zhì)量。計(jì)時(shí)鳴等[5-7]提出了一種基于軟固結(jié)磨粒氣壓砂輪的光整加工新方法，研究了氣壓砂輪軟固結(jié)磨粒群的內(nèi)部磨粒拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)對(duì)加工材料去除率的影響。

梯度功能材料是一種新型復(fù)合材料，通過(guò)連續(xù)改變兩種(或多種)材料的組成和結(jié)構(gòu)，使其界面消失導(dǎo)致材料的性能隨著材料的組成和結(jié)構(gòu)的變化而緩慢變化。滕兆春等[8]討論了彈性地基模量和梯度指數(shù)對(duì)功能梯度材料Timoshenko梁自振頻率的影響。舒小平[9]對(duì)功能梯度壓電涂層的熱效應(yīng)進(jìn)行分析，指出增加涂層層數(shù)可顯著減小相鄰層層間應(yīng)力的突變幅度。賀丹等[10-11]基于新修正偶應(yīng)力理論，建立了微尺度平面正交各向異性功能梯度梁模型，并分析了彎曲和振動(dòng)問(wèn)題。CHOI[12]針對(duì)厚度方向上剪切模量呈指數(shù)變化的具有一定厚度的梯度層，研究了平?jīng)_頭加載功能梯度層的摩擦滑動(dòng)接觸力學(xué)，在平面彈性方程和Fourier積分變換技術(shù)的基礎(chǔ)上，提出了一種求解未知接觸壓力的Cauchy型第二類(lèi)奇異積分方程。SU等[13-16]分析了功能梯度壓電層狀半空間在不同形貌的剛性沖頭下的接觸問(wèn)題。CHEN等[17]提出并研究了具有線性梯度層的齊次半空間與剛性凸模之間的接觸模型。LIU等[18]采用線性多層模型對(duì)剪切模量為任意函數(shù)變化的功能梯度層進(jìn)行了建模，應(yīng)用Hankel積分變換技術(shù)和傳遞矩陣法，將雙接觸問(wèn)題轉(zhuǎn)化為耦合奇異系統(tǒng)來(lái)考慮剛性圓柱形和剛性球頭壓入的功能梯度層的軸對(duì)稱(chēng)雙接觸問(wèn)題。孫喜閣[19]對(duì)功能梯度材料的制備及無(wú)摩擦接觸進(jìn)行了模擬分析。

關(guān)于材料特性沿厚度方向變化的梯度功能材料的接觸問(wèn)題已經(jīng)有了充分的研究與討論，但梯度在面內(nèi)分布的研究較少。彭旭龍[20]對(duì)任意梯度變化的功能梯度材料的相關(guān)動(dòng)靜態(tài)力學(xué)問(wèn)題提出了一種積分方程解法。陳偉球等[21]利用辛彈性力學(xué)解法分析了沿長(zhǎng)度方向彈性模量為指數(shù)函數(shù)變化的矩形域平面彈性問(wèn)題。DAG[22]采用展開(kāi)配置技術(shù)以及Jacobi多項(xiàng)式對(duì)奇異積分方程進(jìn)行數(shù)值求解，研究了剪切模量和摩擦因數(shù)都是面內(nèi)梯度變化函數(shù)的半空間接觸問(wèn)題。這些學(xué)者的研究對(duì)梯度功能材料的應(yīng)用有著指導(dǎo)作用，但接觸問(wèn)題的解析過(guò)程較復(fù)雜繁瑣。

本文提出一種基于梯度功能研拋盤(pán)的加工新方法，研究了模量面內(nèi)變化的梯度功能彈性薄層接觸應(yīng)力問(wèn)題，旨在實(shí)現(xiàn)接觸應(yīng)力面內(nèi)梯度變化以及用一種簡(jiǎn)單的解析方法得到梯度功能研拋盤(pán)接觸應(yīng)力的預(yù)測(cè)方程。

1 梯度功能研拋盤(pán)加工原理

梯度功能研拋盤(pán)加工原理如圖1所示。具有梯度分布的彈性層由磨粒與黏結(jié)劑按不同體積比固結(jié)而形成，在面內(nèi)呈現(xiàn)梯度分布，黏覆在剛性基底上，隨基底一起旋轉(zhuǎn)。負(fù)壓配模組件通過(guò)負(fù)壓吸附工件并夾持在配模上，以一定的位移下壓量與梯度彈性層接觸，進(jìn)行研拋。

圖1 梯度功能研拋盤(pán)加工原理Fig.1 Processing principle of functionally graded lapping and polishing plate

梯度功能研拋盤(pán)應(yīng)用了“軟固結(jié)磨粒”理念，磨粒的存在形式不同于游離磨粒的自由移動(dòng)，亦不同于嵌于剛性基體上的固結(jié)磨粒與工件表面的剛性接觸，磨粒與彈性黏結(jié)劑混合形成的彈性體復(fù)合材料黏覆在剛性基體表面，磨粒各個(gè)方向受到黏結(jié)劑的彈性支撐，在受輕載荷情況下可以局部微動(dòng)而不脫落。根據(jù)Preston方程M=KPV(其中，K在確定環(huán)境下是個(gè)定量，材料去除量M取決于工件接觸面所受的正應(yīng)力P與相對(duì)磨粒的線速度V，保證P與V乘積為常數(shù))，在彈性層面內(nèi)的徑向，通過(guò)改變磨粒和黏結(jié)劑的體積配比實(shí)現(xiàn)彈性層在徑向呈現(xiàn)彈性模量梯度分布，可有效提高材料的去除均勻性。

梯度功能研拋盤(pán)加工新方法的先進(jìn)性體現(xiàn)于：①研拋盤(pán)采用軟固結(jié)磨粒方法，與固結(jié)磨粒拋光方法相比，可有效減輕固結(jié)磨粒對(duì)工件表面的深劃痕問(wèn)題，與游離磨粒拋光方法相比，可提供磨粒穩(wěn)定的支撐，材料去除效果更有效，去除過(guò)程更平穩(wěn)；②引入梯度功能理念，改變研拋盤(pán)面內(nèi)材料特性的分布，實(shí)現(xiàn)工件接觸面的接觸應(yīng)力梯度分布，有效提高材料的去除均勻性。

2 接觸應(yīng)力分析與仿真

2.1 接觸模型及控制方程

將此梯度功能研拋盤(pán)的接觸情況簡(jiǎn)化為圖2所示的接觸模型截面并進(jìn)行分析，忽略體力作用。圖2中，均勻剛性基體上黏覆厚度為h的梯度彈性層，在外力F的作用下，寬度為a的平底剛性體與梯度彈性層發(fā)生法向接觸，在不考慮剛性體自重的情況下，剛性體下壓量為δ。

圖2 梯度彈性層與平底剛性體的無(wú)摩擦法向接觸Fig.2 Frictionless contact model of graded elastic layer and flat bottom rigid body

梯度彈性層泊松比為常數(shù)，且彈性模量在徑向按照如下形式變化：

E(y)=E0+E*y

(1)

式中，E(y)為沿徑向Y坐標(biāo)系上某一點(diǎn)y的彈性模量；E0為梯度彈性層在y=0點(diǎn)處的彈性模量；E*表示梯度彈性層在徑向的彈性模量E(y)變化的非均勻性程度，E*>0表示彈性模量沿徑向正向線性遞增，E*<0表示彈性模量沿徑向正向線性遞減。

接觸問(wèn)題分析基本方程[23]如下。

平衡方程：

(2)

式中，σx、σy、σz為各個(gè)軸向的正壓力；τyx、τzx、τzy、τxy、τxz、τyz為作用在各個(gè)面上的切應(yīng)力，且有τyx=τxy，τzx=τxz，τzy=τyz。

幾何方程：

(3)

式中，εx、εy、εz、γyz、γzx、γxy為應(yīng)變；u，v，w為各個(gè)軸向的位移分量。

物理方程：

(4)

式中，E為材料的彈性模量；υ為材料的泊松比。

假設(shè)剛性體與梯度彈性層做無(wú)摩擦接觸，此時(shí)接觸區(qū)內(nèi)只有正壓力存在，故接觸必須滿(mǎn)足如下邊界條件：

τyz=τzx=τxy=0y∈(-∞,+∞)

(5)

σz=0y∈(-∞,0)∪(a,+∞)

(6)

(7)

同時(shí)在z=h的梯度彈性層與剛性基底的固結(jié)交界面上，存在邊界條件如下：

w|z=h=0y∈(-∞,+∞)

(8)

v|z=h=0y∈(-∞,+∞)

(9)

根據(jù)Preston方程，本文旨在討論剛性體與梯度彈性層接觸區(qū)豎直方向的法向應(yīng)力。在此引入補(bǔ)償函數(shù)H(z)來(lái)取代εx與εy對(duì)σz的影響，擬定梯度彈性層在豎直方向的位移如下：

(10)

在擬定的位移公式中，H(z)僅為z的函數(shù)，且必須滿(mǎn)足H(0)=0與H(h)=0，其具體形式將在后面的討論中確定。

根據(jù)式(3)、式(4)與式(1)得

(11)

剛性體接觸面的接觸應(yīng)力分布P(y)為

(12)

2.2 梯度功能研拋盤(pán)有限元接觸模型

圖3 試件與研拋盤(pán)有限元接觸模型Fig.3 Finite element contact model between the test piece and lapping and polishing plate

工件與研拋盤(pán)表面接觸的壓力分布受多重因素影響，包括下壓量、研拋盤(pán)材質(zhì)、研拋盤(pán)厚度等，并且彈性層在接觸受力過(guò)程中產(chǎn)生彈性變形。在此，應(yīng)用ANSYS Workbench對(duì)研拋盤(pán)進(jìn)行建模和網(wǎng)格劃分，如圖3所示。模型中所用材料參數(shù)和幾何尺寸如表1所示。傳統(tǒng)拋光過(guò)程中，工件邊緣會(huì)出現(xiàn)接觸應(yīng)力突變，造成邊緣過(guò)拋現(xiàn)象，本研究應(yīng)用工件配模[24]技術(shù)來(lái)緩解工件邊緣現(xiàn)象。工件選用銅片試件，在模型中，假設(shè)各實(shí)體表面緊密接觸，上下表面均為平面。在Y軸方向，取試件與研拋盤(pán)接觸面的中線為應(yīng)力取值線。

表1 材料參數(shù)和幾何尺寸Tab.1 Material parameters and geometric dimensions

2.3 仿真結(jié)果與分析

通過(guò)試件配模來(lái)緩解邊緣效應(yīng)的原理是將接觸區(qū)域的邊緣轉(zhuǎn)移至有效去除范圍之外，從而減緩試件邊緣去除量過(guò)大的現(xiàn)象。在試件有配模和無(wú)配模兩種情況下，施加0.2 mm的下壓量，試件邊緣效應(yīng)現(xiàn)象減弱情況如圖4所示。

圖4 配模對(duì)應(yīng)力邊緣效應(yīng)的影響Fig.4 Influence of matching module on stress edge effect

由圖4可以看出，在試件無(wú)配模的情況下，試件邊緣附近接觸應(yīng)力突變明顯；在試件有配模的情況下，邊緣應(yīng)力突變減緩明顯，且有無(wú)配模對(duì)試件接觸區(qū)中心部位接觸應(yīng)力的大小無(wú)影響。

保持模型尺寸參數(shù)不變的情況下，將接觸區(qū)沿Y軸寬度方向等分成同心環(huán)，賦予彈性層上各個(gè)同心環(huán)不同的彈性模量，實(shí)現(xiàn)彈性層沿徑向梯度分布，分布情況如表2所示。

在無(wú)梯度分布和3梯度分布兩種情況下，對(duì)試件接觸表面應(yīng)力進(jìn)行仿真，對(duì)比結(jié)果如圖5所示。分析圖5可得,無(wú)梯度變化的研拋盤(pán)與試件接觸面的應(yīng)力數(shù)值大致相等，呈線性梯度分布的研拋盤(pán)與試件接觸面的應(yīng)力分布也呈現(xiàn)線性分布趨勢(shì)，應(yīng)力分布規(guī)律與理論分析相符。

表2 研拋盤(pán)梯度分布仿真參數(shù)Tab.2 Gradient distribution simulation parameters of lapping and polishing plate

注：Wi表示研拋盤(pán)的梯度數(shù)，如W3表示3梯度。

(a) 無(wú)梯度

(b) 3梯度圖5 試件接觸表面應(yīng)力云圖Fig.5 Stress map of test piece contact surface

圖6為下壓量δ=0.2 mm時(shí)，兩種厚度下試件與梯度彈性層的接觸應(yīng)力。分析可得：①3梯度彈性層下接觸應(yīng)力由于梯度跨度相對(duì)較大造成了相鄰梯度環(huán)界面之間的應(yīng)力突變較大；②隨著梯度環(huán)數(shù)的增加，各梯度界面應(yīng)力過(guò)度更平緩，且不同梯度分布下，應(yīng)力曲線變化幅度保持在10%以?xún)?nèi)；③應(yīng)力突變界面會(huì)隨著梯度環(huán)數(shù)增加或梯度變化跨度減小而趨于消失。

(a) h=5 mm

(b) h=10 mm圖6 不同厚度梯度彈性層接觸應(yīng)力對(duì)比Fig.6 Comparisons of contact stress of different thickness graded elastic layers

綜合以上結(jié)論以及考慮制作多環(huán)梯度彈性層的難度，下文均取5梯度進(jìn)行討論。

(13)

綜合可得P(y)為

(14)

通過(guò)數(shù)值計(jì)算與仿真分析的對(duì)比，可以確定N的取值范圍。

圖7將仿真與無(wú)補(bǔ)償函數(shù)H(z)下的控制方程進(jìn)行了對(duì)比。彈性層厚度h=5 mm的5梯度研拋盤(pán)在下壓量δ=0.2 mm下，應(yīng)力方程計(jì)算出的接觸應(yīng)力相對(duì)于仿真結(jié)果偏大，因此可以明確N的取值范圍為[0,1]。在取值范圍內(nèi)，對(duì)式(14)取值擬合，鑒于拋光對(duì)去除量的要求不大，對(duì)表面質(zhì)量要求嚴(yán)格，且拋光過(guò)程中下壓量不宜過(guò)大，取δ/h∈[0.01,0.06]，結(jié)果如圖8所示。

圖7 H(z)對(duì)接觸應(yīng)力預(yù)測(cè)的影響Fig.7 Influence of H(z) on contact stress prediction

(a) δ/h∈[0.01,0.03]

(b) δ/h∈(0.03,0.06]圖8 不同δ/h下的數(shù)值擬合Fig.8 Numerical fitting curves under different δ/h

圖8a和圖8b分別為δ/h∈[0.01,0.03]和δ/h∈(0.03,0.06]的擬合匹配結(jié)果。結(jié)果表明在相同δ/h下，改變厚度和下壓量對(duì)接觸應(yīng)力的一致性影響不大，同時(shí)方程擬合誤差也保證在10%以?xún)?nèi)。

將圖8對(duì)式(14)N的取值提取出來(lái)，進(jìn)行函數(shù)N(δ/h)的擬合，如圖9所示。由圖9可得，確定了研拋盤(pán)的梯度分布后，總有唯一的一條N(δ/h)曲線可以代入式(14)，從而求出接觸應(yīng)力的分布，為后期材料的加工提供參考。

圖9 函數(shù)N(δ/h)的擬合曲線Fig.9 Fitting curve of function N(δ/h)

3 試驗(yàn)與討論

由仿真結(jié)果可知，面內(nèi)梯度功能研拋盤(pán)與工件接觸可有效實(shí)現(xiàn)工件接觸應(yīng)力梯度分布。本節(jié)通過(guò)搭建梯度功能研拋盤(pán)加工平臺(tái)進(jìn)行試驗(yàn)，驗(yàn)證接觸應(yīng)力的分布情況。

3.1 梯度功能研拋盤(pán)加工系統(tǒng)

圖10為梯度功能研拋盤(pán)加工系統(tǒng)主體構(gòu)成圖，該系統(tǒng)在傳統(tǒng)平面光整加工基礎(chǔ)上對(duì)工件添加了配模，可有效減弱邊緣效應(yīng)，同時(shí)，引入梯度功能理念，實(shí)現(xiàn)工件接觸表面的接觸應(yīng)力梯度分布，可更大程度地實(shí)現(xiàn)工件表面的均勻去除。

圖10 梯度功能研拋盤(pán)加工系統(tǒng)Fig.10 Processing system of functionally graded lapping and polishing plate

負(fù)壓發(fā)生器為負(fù)壓配模組件提供穩(wěn)定的吸附力以固定工件，拋光機(jī)可以實(shí)現(xiàn)50～1 000 r/min的無(wú)級(jí)調(diào)速，用3M瞬干膠將拋光機(jī)旋轉(zhuǎn)盤(pán)基底與梯度功能研拋盤(pán)固結(jié)，控制面板控制工件的水平位置和下壓量，PC機(jī)通過(guò)力傳感器實(shí)時(shí)監(jiān)測(cè)拋光過(guò)程中負(fù)載力的變化，反饋負(fù)載變化情況。

在進(jìn)行工件下壓的過(guò)程中，保證工件與研拋盤(pán)盤(pán)面的平行，實(shí)現(xiàn)工件與研拋盤(pán)接觸面的同一形變量，確保結(jié)果的準(zhǔn)確性。對(duì)工件施加一定的位移下壓量，工件與盤(pán)面的接觸面和工件載荷加載面的應(yīng)力分布是相同的。同時(shí)，為了保證梯度研拋盤(pán)在工件以一定下壓量作用下，接觸面各處變形量相等，選擇將傳感器的位置布置在工件載荷加載面上，即工件上表面上。對(duì)應(yīng)于梯度研拋盤(pán)的5個(gè)梯度環(huán)位置，在工件上布置傳感器。傳感器選用RFP系列電阻式薄膜壓力傳感器，傳感器測(cè)試精度為0.1 N，轉(zhuǎn)換成應(yīng)力可達(dá)0.005 MPa。

3.2 接觸應(yīng)力結(jié)果

在制備梯度功能研拋盤(pán)時(shí)，將黏結(jié)劑與磨粒按照不同體積比配比混合固結(jié)。研拋盤(pán)上磨粒具備軟固結(jié)特性，其中黏結(jié)劑必須具備一定的彈性與良好的流動(dòng)性。綜合以上特性，選擇有機(jī)硅電子灌封膠作為黏結(jié)劑，白剛玉微粉作為磨粒。

取表2中5梯度研拋盤(pán)的梯度分布，按照一定的體積比進(jìn)行固結(jié)[25]，如圖11所示。

(a) 5梯度研拋盤(pán)

(b) 梯度彈性層微觀圖圖11 梯度功能研拋盤(pán)固化效果Fig.11 Curing effect of functionally graded lapping and polishing plate

研拋盤(pán)分為厚度5 mm和10 mm兩種規(guī)格，對(duì)函數(shù)N(δ/h)取三組數(shù)值代入式(14)，得到3條應(yīng)力曲線。試驗(yàn)對(duì)比結(jié)果如圖12所示。由圖12可知，應(yīng)力函數(shù)可以很好地預(yù)測(cè)工件在梯度功能研拋盤(pán)上的接觸應(yīng)力分布，誤差保持在10%以?xún)?nèi)，δ/h值越小擬合度越好，梯度彈性層厚度的影響越小。在δ/h∈[0.01，0.06]的范圍內(nèi)，應(yīng)力預(yù)測(cè)方程可以很好地應(yīng)用于梯度功能研拋盤(pán)的應(yīng)力分析。

圖12 試驗(yàn)結(jié)果對(duì)比Fig.12 Comparison of test results

4 結(jié)論

(1)依據(jù)Preston方程，在試件各點(diǎn)相對(duì)速度呈線性變化時(shí)，接觸應(yīng)力的分布影響材料的均勻去除。本文引入梯度功能理念，面內(nèi)材料線性梯度分布可顯著改變?cè)嚰慕佑|應(yīng)力分布情況。

(2)在保證下壓量的情況下，試件接觸面接觸應(yīng)力大致保持不變，但在邊緣處出現(xiàn)應(yīng)力值急劇增大的邊緣效應(yīng)，試件配模可有效緩解邊緣效應(yīng)。

(3)在理論公式中引入補(bǔ)償函數(shù)H(z)取代εx與εy對(duì)σz的影響，降低了公式的復(fù)雜性，減小了計(jì)算量；補(bǔ)償函數(shù)中參數(shù)N的取值保證了仿真與數(shù)值分析應(yīng)力曲線擬合度誤差在10%以?xún)?nèi)；獲得的N(δ/h)曲線可實(shí)現(xiàn)在確定的面內(nèi)梯度分布下，給定的δ/h比值范圍內(nèi)，都有對(duì)應(yīng)的參數(shù)N，進(jìn)而預(yù)測(cè)接觸應(yīng)力的分布。

(4)對(duì)應(yīng)力預(yù)測(cè)方程進(jìn)行試驗(yàn)驗(yàn)證，誤差保持在10%以?xún)?nèi)，δ/h值越小擬合度越好，梯度彈性層厚度的影響越小，從而為后期的材料均勻去除實(shí)驗(yàn)提供了依據(jù)。