樹狀分支傳熱結構層次生長優化設計技術

熊 敏 丁曉紅 季懿棟 孟凡振

上海理工大學機械工程學院，上海，200093

0 引言

隨著現代工業及科學技術的飛速發展，電子元器件日益向高集成度、高性能和小型化發展，導致其熱流密度大幅增加，例如，大型計算機CPU芯片在運行過程中產生的熱流密度已達到200 W/cm2以上[1]。隨著熱流密度和溫度的上升，電子元器件使用可靠性和使用壽命都會急劇下降。電子元器件的正常工作溫度一般低于70℃，據統計，芯片溫度每升高2℃，其性能可靠性會降低10%[2-3]；高達55%的電子元器件失效是溫度超過規定值引起的[4]。目前常用的散熱技術種類繁多，傳統的空氣冷卻方式的極限為50 W/cm2，顯然已經不能滿足高熱流密度電子元件的散熱需求，同時也受制于設計空間的約束；而液冷流道和相變熱管等散熱技術需要較大的空間才能實現。為了將小空間高熱流密度電子元器件內部的高發熱量快速有效地導出，需要通過嵌入高導熱材料形成高效的散熱通道進行導熱散熱，即通過將高導熱材料形成的散熱通道敷設于電子元器件表面或直接嵌入元器件內部，將熱量快速導出至外界環境。

為了得到高效的散熱通道，設計出最優的散熱通道分布/拓撲形態，近年來眾多的國內外學者和學術團體開展了廣泛的研究。1997年BEJAN[5]提出構形理論(constructal theory)，可以用來設計散熱通道。構形理論以最小熱阻為目標進行設計，但是設計中須假設高導熱材料的熱導率遠大于低導熱材料的熱導率，因此在低熱導率比和填充率較高的情況下不適用[6]；同時構形理論存在最小熱阻極限即裝配極限，導致設計結果無法取得最優的傳熱效果[7]。此后隨著拓撲優化技術的發展，許多學者采用結構拓撲優化技術設計散熱通道，主要有SIMP(solid isotropic material with penalization)方法[8-10]、ESO(evolutionary structural optimization)方法[11-12]和水平集(level set)方法[13]。上述方法可突破構形理論的局限，但是仍存在灰度單元、棋盤格現象等問題，且最終的散熱通道拓撲形態中會存在無效的細小分支，從而導致制造加工困難。另一方面，自然界中的動植物經過億萬年的進化發展，形成了各種優異高效的分支結構以滿足自身生存需求。由此，DING等[6]基于自然界植物根系形態生成機理，提出了一種自適應成長法，構建了高效散熱通道，然而，該方法是單純從生物分支網形態構筑機理出發，沒有考慮散熱系統熱設計的要求。

本文基于植物葉片有效的水(養)分輸送、能量交換和散熱冷卻機制與高熱流密度條件下樹狀分支散熱通道的熱傳輸功能具有本質的相似性這一特性，研究植物網狀葉脈多層次結構特征，形成多層次樹狀分支散熱通道生成方法，并通過不同熱設計條件下二維和三維傳熱結構的設計結果，驗證此設計技術的有效性。

1 樹狀分支散熱通道層次生長策略

1.1 植物葉脈分層結構特征

葉脈分支拓撲構型是水分運輸的重要通道，葉脈宏觀的分支形態和微觀的葉片組織使得植物葉片進化出了十分有效的散熱冷卻機制來應付高溫[14]，避免自身被過度光照曬傷。植物葉脈的分支拓撲構型有多種，如分叉狀脈、網狀脈和平行脈等，其形成機理和脈序等級有關系，而高級脈序與低級脈序的形成影響因素及生物功能各不相同。細觀網狀葉脈(圖1)，其葉脈系統主要由主脈和次脈組成，主脈是低級脈序，負責葉片內外部的能量和養分輸送與交換；次脈為高級脈序，有序地和主脈連通，為主脈收集能量和養分。低級脈序和高級脈序由于其功能不同，具有分層次生長的特點，從而形成了不同的分布形態。

圖1 網狀葉脈脈序Fig.1 Reticulate leaf venation

1.2 散熱通道分層次生長方法

在小空間內，高熱流密度條件下，通過布置一定體積的高導熱材料形成散熱通道將熱量有效導出，使得設計結構的散熱性能最優。如圖2所示，設計域Ωd內存在均勻或非均勻生熱熱源，熱量通過散熱邊界散出，其余邊界絕熱。設計問題中散熱通道的生成控制策略將決定散熱通道的分布形式，以及散熱結構的散熱性能。

圖2 設計問題Fig.2 Design problem

散熱結構中熱的傳輸本質上講是一種“流”，與自然界植物葉脈中水分輸送一樣都屬于“物質流”的輸送過程，因此散熱通道的生長可依據葉脈脈序的功能不同導致形態不同的原理，采用類似的生成方式，主次通道依次分層生長。

如圖3所示，定義散熱通道由不同尺寸的矩形組成，采用起點、終點和通道寬度3個參數即可確定任一通道的位置和尺寸。

圖3 散熱通道幾何表達Fig.3 Geometry simplification

1.2.1主通道的生長

主通道是傳導熱量的主要結構，其主要作用是負責將熱量由結構內部直接有效地導出至熱沉點，基于這一思想，主通道以熱沉作為起點，采用考慮溫度場的空間殖民算法計算通道終點。空間殖民算法是一種分割空間的算法，RUNIONS等[15-16]基于空間競爭的思想提出空間殖民算法，并將其用于樹形結構的可視化建模以及葉脈的可視化建模。LOHAN等[17]利用空間殖民算法對熱傳導問題中傳熱結構進行拓撲優化設計。本文在此基礎上，考慮結構溫度場，結合高溫點的溫度和位置信息，采用考慮溫度信息的空間殖民算法(space colonization algorithm with temperature information，SCATI)搜尋主通道終點。

如圖4a所示，首先找出結構內最高溫度點s1，并找出與該點距離小于或等于d的點s2，s3，…，sn，得到集合S(v)；以熱沉點位置p為起點，集合S(v)內點的位置和溫度值形成各點矢量，如圖4b虛線箭頭所示；由下式可得矢量和n(如圖4c實線箭頭所示)：

(1)

按照下式確定主通道終點(即圖4d所示p′位置點)：

p′=p+n

(2)

(a) 高溫點集合

(b) 溫度和位置矢量

(c) 矢量和

(d) 主通道終點圖4 SCATI控制主通道生長Fig.4 Growth of principal channel by SCATI

根據葉脈層序特征的研究，葉脈不同層序體積分數與葉脈面積之間具有一定的統計規律[18]，在此，主通道體積分數按照葉脈中主脈體積分數統計規律確定。

1.2.2次通道的生長

次通道的功能是收集熱量，將設計域內的熱量快速有效地傳導至主通道，因此選擇溫度最高點作為次通道的終點，而起點的選擇必須能使得熱傳導效率盡可能高。從能量學角度出發考慮，遵循類似于自然分支系統中普遍存在的最小能耗原則，故采用最小熱阻原理來進行次通道的生長。

一根分支通道的熱阻r可以定義為

(3)

其中，L，h和D分別為分支通道的長度、高度和寬度；κ為材料的熱導率。從熱沉點到通道末端，包含n根分支通道的總熱阻R可定義為

(4)

其中，ri為第i個分支通道的熱阻；n為導熱通道中分支通道的個數。如圖5所示，新生長的通道為子通道，與其相連已存在的通道為其母通道。沿母通道建立局部坐標系X′Y′如圖5所示，從而總熱阻R采用局部坐標系可表示為

(5)

圖5 子通道的局部坐標系及生長Fig.5 Growth of daughter channel in local coordinate system

其中，xs為子通道起點在X′軸上的坐標值；xe和ye分別為子通道終點在局部坐標系中的X′和Y′坐標值；Dn和Dn-1分別為子通道和與其相連的母通道的寬度；R′為傳熱路徑中除新子通道之外的通道熱阻。為求最小熱阻，對熱阻R表達式求導數，獲得極值點：

(6)

得到

(7)

由此可確定次通道的起點和終點。給定子通道初始枝寬D0，完成一根次通道的生長。由圖5可知，原母通道被子通道起點分割成兩段：

(8)

式中,λ為分歧指數，根據能量損耗最小原理，λ取值為3[19]。

1.2.3分層次生長流程圖

圖6為傳熱結構分層次生長流程圖。首先設定設計域以及熱設計條件和參數，包括設計域尺寸、熱沉條件、熱源條件、高導熱材料和低導熱材料的熱導率、主通道體積分數上限、通道初始寬度、所有通道體積分數上限等。然后利用有限元熱分析，得到設計域溫度場，采用SCATI算法實現主通道生長，直至滿足主通道體積分數要求，主通道生長完成。主通道生長完成后，開始次通道的生長。次通道的生長依據最小熱阻原理確定生長分歧點，按照Murray法則更新枝寬。最后，當高導熱材料的體積分數達到設計要求時生長迭代停止，即傳熱通道生長完成。

圖6 傳熱結構分層次生長流程圖Fig.6 Flow chart of hierarchy growth of heat transfer structure

2 典型數值算例

以熱通道分層生長的方法，對典型的二維均勻生熱及非均勻生熱和三維熱傳導算例進行散熱通道優化設計。

2.1 單點熱沉均勻生熱算例

圖7所示為典型均勻生熱單點熱沉問題。設計域為0.1 m×0.1 m的正方形，其內部存在均勻生熱，生熱率Q=3 000 W/m2。在設計域的底邊中部有熱沉作為散熱邊界，其長度b=0.01 m，熱沉溫度t0=0 ℃，其余邊界絕熱。高導熱材料與低導熱材料的熱導率比K=400。根據相應生物學葉脈中主脈體積的統計規律，主通道體積分數上限為16.93%[18]，高導熱材料體積分數上限為20%。

圖7 單點熱沉均勻熱源設計模型Fig.7 Design model for singie heat sink and uniform heat source

設計域內黑色部分表示由高導熱材料敷設的散熱通道，白色部分表示低導熱材料。如圖8a所示，主通道較為均勻地分布在整個設計域內，將設計域分成多個區域；主通道的長度較長，從熱沉出發延展至設計域的邊界處。次通道主要出現在設計域內主通道分布稀疏處，如圖8b所示，可以發現，隨著次通道的生長，大部分主通道及個別次通道的寬度會隨之更新、增寬，其中有分支的通道寬度與無分支的通道寬度相比更寬。比較次通道與主通道的長度可以發現，次通道的長度要遠小于主通道。可以發現，分支現象主要發生在主通道上。當高導熱材料的體積分數到達設計上限時生長過程停止，獲得最終拓撲形態。計算最終結果，主通道體積分數為16.98%，與計算要求的主通道體積分數16.93%十分接近。設計域溫度場如圖8c所示。

為了驗證所設計散熱結構的傳熱性能，同條件下采用SIMP方法設計散熱結構拓撲形態進行對比，如圖8d所示。兩種方法所設計傳熱通道形態類似，其中SIMP方法設計結果與天然樹形結果更相似，但其熱通道細小、不規則，存在灰度單元，不利于傳統加工方式制造。分層生長方式設計的熱通道邊界清晰、無灰度單元，可采用線切割等低成本加工方式進行制造。兩種設計結果的熱性能對比見表1，與SIMP方法所設計結構相比，分層生長方法所設計結構的最高溫度、平均溫度和溫度方差分別下降了28.9%、6.8%和55.4%。

(a) 主通道生長完成

(b) 次通道生長完成

(c) 設計域溫度場

(d) SIMP方法設計結果圖8 單點熱沉均勻熱源設計Fig.8 Design results for single heat sink and uniform heat source

表1 優化結果熱性能對比(單點熱沉均勻熱源)Tab.1 Comparison of thermal performances for optimal design results(single heat sink and uniform heat source)

2.2 兩點熱沉非均勻生熱算例

圖9所示為兩點熱沉非均勻生熱模型，熱沉的溫度和尺寸保持不變，數量增加1，相應的設置方式如圖8所示；非均勻生熱率Q1=6 000 W/m2，Q2=600 W/m2，布置方式如圖9所示，其余參數與邊界條件均保持不變。

圖9 兩點熱沉非均勻熱源設計問題Fig.9 Design model for double heat sink and non-uniform heat source

圖10a所示為主通道生長結束后散熱通道拓撲形態，主通道主要分布在高熱流密度區，與熱沉點連接。圖10b所示次通道主要分布在高熱流密度且主通道分布較為稀疏的區域。散熱通道最終的拓撲形態及其溫度場分布圖見圖10c。

同條件下采用SIMP方法設計散熱結構拓撲形態，如圖10d所示，其熱性能對比見表2。在非均勻熱源兩點熱沉條件下，與SIMP方法所設計結構相比，分層生長方法所設計結構的最高溫度、平均溫度和溫度方差分別下降了42.1%、8.2%和73.9%。分層生長方法所設計的散熱結構結構簡單且拓撲邊界清晰，不會出現SIMP方法中存在的灰度單元或邊界模糊的現象。

(a) 主通道生長完成

(b) 次通道生長完成

(c) 設計域溫度場

(d) SIMP方法設計結果圖10 兩點熱沉非均勻熱源設計Fig.10 Design results for double heat sink and non-uniform heat source

表2 優化結果熱性能對比(兩點熱沉非均勻熱源)Tab.2 Comparison of thermal performances for optimal design results(double heat sink and non-uniform heat source)

2.3 四點熱沉非均勻生熱算例

圖11所示為四點熱沉非均勻生熱模型，熱沉的溫度和尺寸保持不變，數量增加為4，分別位于設計域的4個角點；非均勻生熱率Q1=6 000 W/m2，Q2=600 W/m2，布置方式如圖11所示，其余參數與邊界條件均保持不變。

圖11 四點熱沉非均勻熱源設計模型Fig.11 Design model for tetrad heat sink and non-uniform heat source

圖12a所示為主通道生長結束后散熱通道拓撲形態，主通道主要分布在高熱流密度區，與熱沉點連接。次通道主要分布在高熱流密度區且主通道分布較為稀疏的區域。圖12b所示為散熱通道最終的拓撲形態，高熱流密度區出現較多細小次通道分支。散熱結構溫度場分布如圖12c所示。

同條件下采用SIMP方法設計散熱結構拓撲形態，如圖12d所示，其熱性能對比見表3。在非均勻熱源四點熱沉條件下，與SIMP方法所設計結構相比，分層生長方法所設計結構的最高溫度、平均溫度和溫度方差分別下降了49.0%、19.7%和64.7%。同樣地，分層生長方法所設計的散熱結構結構簡單且拓撲邊界清晰，不會出現SIMP方法中存在的灰度單元或邊界模糊的現象。

(a) 主通道生長完成

(b) 次通道生長完成

(c) 設計域溫度場

(d) SIMP方法設計結果圖12 四點熱沉非均勻熱源設計Fig.12 Design results for tetrad heat sink and non-uniform heat source

表3 優化結果熱性能對比(四點熱沉非均勻熱源)Tab.3 Comparison of thermal performances for optimal design results(tetrad heat sink and non-uniform heat source)

2.4 三維傳熱結構算例

圖13所示為三維傳熱結構算例。設計域為半圓柱曲面，圓柱半徑r=0.1 m，圓柱長度為0.2 m，曲面均勻生熱，生熱率Q=3×103W/m2。如圖13所示，在設計域的底邊中部有一個熱沉作為散熱邊界，其長度b=0.01 m，熱沉溫度t0=0 ℃，其余邊界絕熱。

圖13 三維傳熱結構設計模型Fig.13 Design model for 3D heat transfer structure

圖14a和圖14b所示為分層生長方法所設計三維半圓柱設計域內散熱通道拓撲形態，其分布與單點熱沉平面結構類似。主通道較為均勻地分布在整個設計域內,次通道主要分布在主通道分布較為稀疏的區域；散熱結構溫度場分布如圖14c所示。設計域內最高溫度、平均溫度和溫度方差分別為1.026 ℃、0.790 ℃和0.050 0。

(a) 散熱通道分布俯視圖

(b) 散熱通道分布

(c) 設計域溫度場圖14 三維傳熱結構設計結果Fig.14 Design result for 3D heat transfer structure

3 結論

本文針對高熱流密度電子元件所需小空間散熱方式，提出了一種分層生長散熱通道拓撲優化設計方法。與SIMP的算例比較，所提出的設計方法設計結果輪廓清晰、無灰度單元，易于采用線切割等傳統低成本加工方法進行加工，并且具有較好傳熱性能。通過單點熱沉、兩點熱沉、四角熱沉、均勻生熱、非均勻生熱以及三維設計域等多種設計算例，驗證了所提方法的適用性。