走進函數綜合，關注突破方法

王良軍

[摘 ?要] 函數是刻畫變量之間聯系關系的數學模型，也是初中數學十分重要的知識內容，在中考中常以壓軸題的形式出現. 該類問題的突破除了需要掌握函數的知識定理，還需要使用一定的技巧方法. 文章以一道函數綜合題為例，開展思路突破，多解探析.

[關鍵詞] 函數;存在性;等腰三角形;數形結合

考題呈現

（2019年鹽城中考）如圖1，二次函數y=k（x-1）2+2的圖像與一次函數y=kx-k+2的圖像交于A，B兩點，點B在點A的右側，直線AB分別與x軸、y軸交于點C和點D，其中k<0.

（1）求A，B兩點的橫坐標.

（2）若△OAB是以OA為一腰的等腰三角形，求k的值.

（3）二次函數圖像的對稱軸與x軸交于點E，是否存在實數k，使得∠ODC=2∠BEC？若存在，求出k的值;若不存在，請說明理由.

思路突破

上述屬于二次函數與一次函數的壓軸題，題干給出相應函數的解析式，以及圖像上關鍵點的位置關系. 題目包含三問，涉及點的坐標求值、特殊情形下參數k的求值，以及存在性問題. 下面對其解題思路加以探究.

1. 聯立函數，定位交點

第（1）問求A，B兩點的橫坐標，考慮到上述兩點就是二次函數與一次函數的交點，因此實際上是傳統的交點問題，只需要聯立兩函數的解析式即可，即聯立y=k（x-1）2+2，y=kx-k+2， 可解得x=1或x=2. 由于點B在點A的右側，所以點A的橫坐標為1，點B的橫坐標為2. 另外，還可以推知A（1，2），B（2，k+2）.

2. 分類等腰，討論腰長

第（2）問求△OAB是以OA為一腰的等腰三角形時k的值，屬于等腰三角形存在性問題，而k屬于二次函數和一次函數解析式中的參數，其數值大小影響點的坐標，而點的坐標關系到線段長，因此此問基本的解題思路是“利用等腰性質→提取等長線段→構建代數方程→解析確定k值”. 題干只說OA是等腰三角形的一條腰，但并沒有說明另一條腰，因此存在OA=AB和OA=OB兩種情形，需要分類討論.

當OA=AB時，已知點A和點B的坐標分別為（1，2），（2，k+2），根據兩點之間的距離公式可求得OA= ，AB= ，于是有 = ，解得k=2（舍去）或k=-2.

當OA=OB時，可求得OB= ，于是有 = ，解得k=-1或k=-3.

綜上可知，若△OAB是以OA為一腰的等腰三角形，k的值可為-1，-2或-3.

3. 提取模型，數形結合

第（3）問設定了點E的位置，要求分析是否存在k值使得∠ODC=2∠BEC，屬于角度關系中的存在性問題. 考慮到角度關系涉及倍數，因此較為常規的方式是在幾何圖形中構建等角，將其轉化為對應角的大小分析，然后借助特殊圖形的性質，構建相應的求解模型，即通過數形結合的方式，將幾何問題轉化為對應的代數問題. 實現由“形”到“數”的定理公式有很多，常見的有距離公式、三角函數式、勾股定理、相似圖形線段長關系式等，解題時需要根據圖形結構來選用定理公式.

本題中點B的坐標為（2，k+2），k的值影響到點B在拋物線上的位置，具體可以分為x軸上方和x軸下方兩種情形.

當點B在x軸上方時，過點A作x軸的垂線，與x軸的交點就為點E，連接BE，過點B作x軸的平行線，與AE交于點H，然后作∠HAB的平分線，交HB于點M，再過點M作AB的垂線，垂足為N，過點B作x軸的垂線，垂足為K. 為方便分析，從圖形中提取△ABH中的內部結構，如圖2. 由圖形性質可知，AE∥OD，可確定△ODC與△HAB為相似三角形，可得∠ODC=∠HAB，則問題可轉化為分析∠HAB與∠BEC的倍數關系，再由角平分線的性質可進一步細化為分析∠HAM與∠BEC的大小關系. 考慮到兩角均位于對應的直角三角形中：∠HAM為△HAM的一個內角，∠BEC為△EBK的一個內角，則可以利用直角三角形中的三角函數來實現等角向代數分析的轉化，即當∠HAM=∠BEC時，tan∠HAM=tan∠BEC. 根據A，B的坐標可求得AH=-k，HB=1，設HM=MN=m，則BM=1-m，AN=AH=-k，AB= ，NB=AB-AN. 在Rt△MNB中使用勾股定理，可得BM2=MN2+NB2，即（1-m）2=m2+（ +k）2，解得m=-k2-k . 在△AHM中，tan∠HAM= = ，又tan∠BEC= =k+2，若∠HAM=∠BEC，則 =k+2，解得k=± ，舍去其中的正值，可得k=- .

當點B在x軸下方時，同理，tan∠HAM= = =tan∠BEK= =-（k+2），其中m=-k2-k ，k<-2，可解得k1= （舍），k2= .

綜上可知，當k的值為- 或 時，可使得∠ODC=2∠BEC.

多解探究

上述考題屬于二次函數與一次函數的綜合題，其前兩問屬于常規問題，只需要按照常見的解題思路來逐步推導即可. 其核心之問為考題的第（3）問，屬于角關系的存在性問題，需要通過幾何關系的分析來確定參數k的值. 上述利用等角的三角函數相等知識，構建了相應的求解方程，實現了數形結合的解題突破. 對于該問，還可以直接由幾何角的大小關系來探討圖形特性，利用圖形特性來求解k值，具體如下.

過點A作x軸的垂線，則垂足就為點E，同樣的，點B的位置可以分為位于x軸上方和x軸下方兩種情形，可以先假設存在k值使得∠ODC=2∠BEC.

當點B在x軸上方時，連接EB，設∠BEC=α，分析可知OD∥AE，則∠ODC=∠EAB=2α，如圖3，可知∠AEB=90°-α，則∠ABE=180°-2α-（90°-α）=90°-α，所以∠AEB=∠ABE. 所以△AEB是等腰三角形，且AE=AB. 可求得A（1，2），E（1，0），B（2，k+2），其中-2

當點B在x軸下方時，延長AE至點F，使得BF與x軸平行，然后作點E關于FB對稱的點G，連接GB，如圖4. 設∠BEC=α，由兩線平行的性質可知∠BEC=∠EBF=α，結合對稱知識可進一步推知∠BEC=∠EBF=∠GBF=α. 又知∠ODC=∠EAB=2α，∠AGB=∠GEB=∠EAB+∠ABE=2α+∠ABE，而∠ABG=2α+∠ABE，所以∠AGB=∠ABG. 所以△AGB為等腰三角形，且AG=AB. 可確定A（1，2），E（1，0），B（2，k+2），G（1，2k+4），其中k<-2，利用兩點之間的距離公式可構建方程1+k2=（2k+2）2，從而可解得k1= （舍），k2= .

綜上可知，當k的值為- 或 時，可使得∠ODC=2∠BEC.

上述所采用的雖然也是構建代數方程的方式來求解參數k，但與之前的剖析思路不同，不再利用三角函數，而是直接利用等腰三角形“等角對等邊”來構建模型. 其解析的難度在于將條件“∠ODC=2∠BEC”轉化為圖形中的等角關系. 從整體上來看，同第（2）問類似，依然屬于等腰三角形存在性問題. 對于等腰三角形存在性問題，常用的處理方法有兩種：一是幾何方法，即單純地通過幾何關系來確定點的位置;二是代數法，即利用等腰三角形的性質定理來構建代數方程. 而上述的問題分析則是幾何與代數方法的綜合，其優勢在于數形結合，由“數”構“形”，以“形”化“數”，實現了問題的直觀簡單化求解.

解后反思

函數綜合題在歷年中考中常以壓軸題的形式出現，其特色在于可以利用函數與幾何之間的聯系來考查學生幾何、函數、圖形構造等知識和技能，是對當下素質教育“知識應用”理念的貫徹. 通過對上述考題的解析突破，有以下幾點學習建議.

1. 關注數學的基礎知識

上述雖然屬于二次函數的綜合題，但由其解題過程可知問題的突破依然是基礎知識的組合應用. 例如考題解析應用到了兩點之間的距離公式、勾股定理、三角函數、角平分線性質、對稱性質、三角形相似等知識，正是對數學基礎知識的合理調用，從而發現了圖形特性，獲得了問題突破的關鍵條件. 因此教學中，教師不能過于注重“題海”演練，而忽視了數學基礎知識的講解，應以教材的基本定理、定義、公式、方法作為教學基礎，使學生深刻理解基礎知識的內涵，能夠在問題剖析中靈活運用.

2. 重視問題的多解剖析

中考真題的優點在于看待問題的角度不同，可以產生不同的解題靈感，尤其是一些優秀的綜合題. 例如上述考題的第（3）問，如將條件視為三角函數構建的基礎，則可以通過三角函數來解析突破，若將其視為圖形的特性條件，則可以通過構造等腰三角形，利用等線段長來解析突破. 通過對問題的多解剖析可以發現問題的本質，即依托等角關系建立代數關系，利用代數分析確定參數取值. 因此在實際教學中需要教師注重問題的多解探究，通過對特定問題的多角度分析來提升學生思維的靈活性，激發學生創新思考.

3. 注重解題的思想方法

思想方法是數學解題的精華，也是數學的靈魂所在，掌握數學思想方法，不僅可以提升數學解題能力，更可以提升數學思維. 例如上述考題的解析過程運用了數形結合思想和構造思想，即通過數形結合的分析方式準確把握了圖形結構，有效利用圖形特點構建了相應的代數模型，而利用構造思想實現了圖形特殊化，獲得了問題求解的特殊模型. 上述兩種思想方法尤其適用于函數綜合問題的突破，建議教師在函數和幾何知識的教學中結合具體內容加以滲透，使學生初步理解思想方法的內涵，掌握思想方法解題的基本步驟，促進學生數學思想的發展.