求直線方程設(shè)法有技巧

■童永樂

直線方程是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一。高考主要考查的是以直線方程為載體,與其他知識的交匯題。下面舉例說明求直線方程常用的設(shè)法技巧,供大家參考。

一、已知斜率為k,可設(shè)方程為斜截式

例1求斜率為,且與坐標(biāo)軸圍成的三角形周長是12的直線l的方程。

解：設(shè)直線l的方程為。令x=0,得y=b;令y=0,得x=。根據(jù)題意得,解得b=±3,所以直線l的方程為3x-4y±12=0。

評析：需要注意的是斜截式方程不含垂直于x軸的直線。

二、已知過點,且斜率存在，可設(shè)方程為點斜式

例2已知直線l過點P(2,3),且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等,求直線l的方程。

解：因為直線在兩坐標(biāo)軸上的截距相等,所以斜率存在且不為0。又直線l過點P(2,3),所以設(shè)所求直線l的方程為y-3=k(x-2)。令x=0,得y=3-2k;令y=0,得。由,解得k=-1或。所以直線l的方程為x+y-5=0或3x-2y=0。

評析：需要注意的是點斜式不含垂直于x軸的直線。 本題也可以用截距式方程求解,有興趣的同學(xué)可以探究一下。

例3已知三角形三個頂點分別為A(2,1),B(-2,3),C(6,-7),求AC邊上的中線所在的直線方程。

解：設(shè)AC邊的中點為M(x,y),則。直線BM經(jīng)過B(-2,3),M(4,-3)兩點,由直線方程的兩點式得,化簡得x+y-1=0,即AC邊上的中線所在的直線方程為x+y-1=0。

評析：直線方程的兩點式不含垂直于坐標(biāo)軸的直線,兩點式方程與兩點的順序無關(guān)。

例4過點(1,0)且與直線x-2y-2=0平行的直線方程是____。

解：與直線x-2y-2=0平行的直線方程可設(shè)為x-2y+C=0,將點(1,0)代入解得C=-1,所以所求的直線方程為x-2y-1=0。

評析：本題是利用平行直線系方程求解的,顯然,也可以利用兩直線平行,斜率相等求解。

例5直線l過點(-1,2)且與直線2x-3y+4=0垂直,直線l的方程是____。

解：因為直線l與直線2x-3y+4=0垂直,所以可設(shè)直線l的方程為3x+2y+m=0。又直線l過點(-1,2),所以代入得3×(-1)+2×2+m=0,解得m=-1。故直線l的方程為3x+2y-1=0。

評析：本題是利用垂直直線系方程求解的,也可以利用兩直線垂直,斜率之積等于-1求解,但利用垂直直線系方程求解的過程更簡單。