一題多變之與圓有關的最值問題

■徐春生

題目已知實數x,y滿足方程(x-2)2+y2=3,則的最大值是_____,最小值是_____。

圖1

由平面幾何知識可知,只有在原點和圓心連線上,與圓的兩個交點處才取得最大值和最小值。圓心到原點的距離為=2,所以的最大值是最小值是2- 3。

評析：形如的最值問題,可轉化為動點到定點的距離的最值問題。可看作點(x,y)與點(a,b)之間的距離。

變式1：已知實數x,y滿足方程y=,則的最大值是_____,最小值是_____。

提示：由,可得(x-2)2+y2=3(y≥0),此方程表示以(2,0)為圓心,3為半徑的半圓(y≥0的部分)。的幾何意義是半圓上一點與原點連線的斜率,設=k,即y=kx,如圖2所示。

圖2

當直線y=kx與圓(x-2)2+y2=3相切時,斜率k取得最大值或最小值,此時,解得k= 3(x= - 3 不 合 題 意,舍 去)。顯然,由此圓為半圓,可知斜率k的最小值為0。

變式2：已知實數x,y滿足方程(x-2)2+y2=3,則的最大值是_____,最小值是_____。

提示：原方程表示以(2,0)為圓心,3為半徑的圓。

變式3：已知圓C的方程為(x-2)2+y2=3,則點Μ(2,3)與圓C上的點的距離的最大值是_____,最小值是____。

提示：圓C的圓心為(2,0),半徑為3。因為(2-2)2+32＞3,所以點Μ在圓C外。