透析翻折中的立體幾何問題

■宋凱麗 魏燦帥 姚文濤

解決翻折問題的關鍵是抓住平面圖形和立體圖形之間的關系,弄清翻折前后哪些量發生了變化,哪些量沒有發生變化。這些沒有變化的量是我們解決問題的突破口,下面就這類問題舉例探討一下。

一、翻折中點、線、面之間的位置關系問題

例1如圖1,直線EF將矩形紙ABCD分為兩個直角梯形ABFE和CDEF,將梯形CDEF沿邊EF翻折,如圖2,在翻折的過程中平面ABFE和平面CDEF不重合,則下面說法正確的是( )。

圖1

圖2

A.存在某一位置,使得CD∥平面ABFE

B.存在某一位置,使得DE⊥平面ABFE

C.在翻折的過程中,CF∥平面ADE恒成立

D.在翻折的過程中,BF⊥平面CDEF恒成立

解：四邊形DEFC是梯形,DE∥CF,CD與EF相 交,CD與 平 面ABFE相 交,A錯誤。DE⊥CD,故DE與EF不垂直,所以不存在某一位置,使得DE⊥平面ABFE,B錯誤。DE∥CF,CF?平面ADE,DE?平面ADE,所以翻折后,CF∥平面ADE恒成立,C正確。AB⊥BF,BF與EF不垂直,在翻折的過程中,BF⊥平面CDEF不成立,D錯誤。應選C。

友情提醒：本題主要考查同學們對圖形的直觀認識,考查對線線、線面平行和垂直的判定定理的理解與應用。

二、翻折中的計算問題

例2如圖3,在直角梯形ABCD中,AB∥CD,AB⊥AD,且AB=AD=CD。現以AD為一邊向梯形外作正方形ADEF,然后沿邊AD將正方形ADEF翻折,使平面ADEF與平面ABCD垂直,如圖4所示。

圖3

圖4

(1)求證:BC⊥平面BDE。

(2)若AD=1,求點D到平面BCE的距離。

解：(1)在正方形ADEF中,ED⊥AD。

因為平面ADEF⊥平面ABCD,且平面ADEF∩平面ABCD=AD,所以ED⊥平面ABCD,所以ED⊥BC。在直角梯形ABCD中,設AB=AD=a,則CD=2a,可得BC=2a。在△BCD中,BD=BC= 2a,CD=2a,所以BD2+BC2=CD2,所以BD⊥BC。又因為ED∩BD=D,所以BC⊥平面BDE。

(2)(直接法)由(2)得BC⊥平面BDE,因為BC?平面BCE,所以平面BDE⊥平面BCE。過點D作EB的垂線交EB于點G,則DG⊥平面BCE,所以點D到平面BCE的距離等于線段DG的長。 在Rt △BDE中,S△BDE=BD·DE=BE·DG,由此可得DG=

(等體積法)設點D到平面BCE的距離為d,由VD-BCE=VE-BCD,可得·S△BCE·d=·S△BCD·DE,由此代入可解得

友情提醒：本題主要考查直線與平面垂直的判定定理的應用,考查等體積法的應用。