基于單元定數截尾數據信息融合的串聯系統可靠性的貝葉斯分析

馬建軍　王立君

摘 要：為了解決小子樣成敗型串聯系統可靠性評估的問題，本文基于單元定數截尾數據，利用Monte-Carlo方法，提出了模擬先驗分布的方法，給出了融合單元信息的成敗型串聯系統可靠性評估的貝葉斯方法。

關鍵詞：成敗型試驗;串聯系統可靠性;定數截尾數據;貝葉斯估計

0 引言

在系統可靠性評估中，由于系統復雜、昂貴，獲得系統的試驗數據是很困難的。一些系統將單元集成之后，只能進行成敗型的試驗，如炮彈、導彈等一些軍工產品。在成敗型試驗可靠性評估中，若樣本容量為n，失敗次數為f，置信水平為γ，可靠度的單側置信下限由下式計算

當時，有，得，n為所需試驗最少次數。成敗型試驗中失敗次數為零時，當，時，n=16，當γ=0.90，時，n=22，當γ=0.80，0.95時，n=32，當γ=0.90，0.95時，n=45。

結果說明成敗型數據所包含的信息量少，需要進行大量試驗才能保證給定的置信水平。而且可靠性越高，試驗樣品越多。若條件限制不允許進行大量的試驗，匯總各方面的信息進行綜合評估的方法是評估系統可靠性的主流方法。

1 指數單元串聯系統的可靠性

考慮由多個單元串聯構成的系統，例如某型導彈可以按主要功能分為推進單元、控制單元、毀傷單元等多個單元。根據已有的單元數據，可以獲得系統的可靠性先驗信息。

假定系統由m個單元組成，每個單元的壽命服勻從指數分布，其密度函數為

在t0時刻第i個單元的可靠度為

記m個單元串聯系統的壽命為，則～Exp（λ1+

λ2+λ3+…+λm），其中Exp（λ）表示參數為λ的指數分布。

假設對第i單元有ni次獨立觀測，其中有ki次失效，它們的失效時間記為，

則參數的極大似然估計（MLE）為

其中第i個單元的為總失效時間，。且有[1]

根據極大似然估計的不變性，m個單元串聯系統壽命分布參數λ的極大似然估計為。

若m單元定數截尾觀測都是獨立的，則有

（1）

則串聯系統的可靠性的極大似然估計為。

2 系統可靠性的Bayes估計

假定m個單元組成串聯系統，單元壽命服從指數分布。如果需要評估在t0時刻的系統可靠性，只要利用先驗信息估確定先驗分布中參數a，b即可。在這一節中，在給定試驗數據下，利用Monte-Carlo方法來估計參數。

在給定數據時，可以認為。此處用到了信仰推斷的思想，認為參數是一個隨機變量。我們從分布中抽取隨機數，利用矩法估計參數。具體步驟如下：

（1）分別從分布中抽取一組隨機數，，;

（2）計算，;

（3）對于給定的時刻t0，將代入下式計算Rs（t0），

（4）計算Rs（t0）的均值與方差

（5）估計參數，利用貝塔分布數學期望與方差的公式[2]

可以得到參數的估計為

3 可靠性的Bayes可信下限

假定系統可靠性的先驗分布為貝塔分布，記為，密度函數為

其中a和b為驗前超參數，，。

若成敗型系統進行了n次獨立重復試驗，試驗中成功x次，則系統可靠性的后驗分布為，

其后驗均值與后驗方差分別為[3]

根據BAYES準則[4]得到可靠性的點估計為

給定可信度為γ，系統可靠性的可信下限是分布的上γ分位數，即

4 實例分析

某型號系統由三個單元串聯構成。歷史數據對單元一的壽命共有160次觀測，在5年內共有40個觀測失效，失效時間記錄為：0.1，0.1，0.2 ，0.4 ，0.4，0.7，0.8，0.8，1.1，1.2，1.2，1.4，1.4，1.4，1.4，1.9，2.1，2.1，2.3，2.7，2.9，2.9，3.0，3.1，3.2，3.3 3.6 ，3.7，3.8，4.0，4.2，4.3，4.4，4.5，4.6，4.6，4.7，4.7，4.9。對單元二進行了120次獨立觀測，在4年內共有26個觀測失效，失效時間記錄為0.1，0.1，0.2，0.2，0.7，1.0，1.1，1.2，1.2，1.4，1.7，2.2，2.2，2.3，2.4，2.5，2.5，2.6，2.7，2.7，2.8，3.2，3.3，3.6，3.7，3.8。對單元三進行了90次獨立觀測，在2年內共有8個觀測失效，失效時間記錄為0.1，0.1，0.4，0.7，1.2，1.6，1.7，1.9。

下表中的符號：t0系統工作時間;，系統先驗分布的參數;n試驗的次數，x表示n次試驗中成功的次數;表示系統可靠性的Bayes點估計，1-α表示可信度，RL表示可信度為Bayes可信下限，在這里可信度均取0.9。

5 結論

Bayes方法是系統可靠性小子樣評估的有效方法，由于單元壽命分布數據容易獲得，所以本文提出的方法是一種行之有效的評估方法，并且本文提出的方法可以由單元壽命數據確定任意時點的系統可靠性的先驗分布。

參考文獻：

[1]蔡洪，張士峰，張金槐.Bayes試驗分析與評估[M].國防科技大學出版社，2004.9：285-339

[2]張國志，楊光，鞏英海.復雜系統可靠性分析[M].哈爾濱工業大學出版社，2009.7：1-6，92-105

[3]金星，洪延姬.系統可靠性評定方法[M].國防工業出版社，2005.6：1-5，106-121.

[4]Pandey M， Upadhyay SK.Bayes estimation of reliability in stress - strength model of Weibull distribution with equal seale parameters [J]. Microelection Reliability， 1986，26 （2）：275-278.