高慧明老師講數(shù)學(2)
——以圓錐曲線的幾何性質為背景的壓軸選擇題

■北京市第十二中學 高慧明

高考數(shù)學試題中以圓錐曲線的幾何性質為背景的壓軸選擇題主要涉及以下幾種類型問題:求圓錐曲線的離心率,求特定字母的取值范圍,求圓錐曲線中的最值,以及平面圖形與圓錐曲線相結合的問題。

類型一、求圓錐曲線的離心率問題

例1如圖1,已知雙曲線b＞0)的左、右焦點分別為F1、F2,A是雙曲線的左頂點,雙曲線C的一條漸近線與直線交于點且F1P⊥AM,則雙曲線C的離心率為( )。

圖1

解析:已知雙曲線b＞0)的左頂點為A(-a,0),左焦點為F1(-c,0),由知M為線段F1P的中點,且F1P⊥AM,可得|AP|=|AF1|,由題意知漸近線OP的方程為則有所以由|AP|=|AF1|得即a2(c-a)2+a2b2=c2(c-a)2,即(c2-a2)(c-a)2=a2b2,可得c-a=a,即c=2a,所以故選C。

評注:在求解有關離心率的問題時,一般并不是直接求出c和a的值,而是根據(jù)題目給出的橢圓或雙曲線的幾何特征,建立關于參數(shù)c,a,b的方程或不等式,通過解方程或不等式求得離心率的值或范圍。一般來說,求離心率的取值范圍,通?？梢詮膬蓚€方面來研究:一是考慮幾何關系,例如根據(jù)線段的大小關系或者角的大小關系列不等式;二是考慮代數(shù)關系,通過設點,將所給問題坐標化,結合圓錐曲線方程和本身的范圍來確定。

相關鏈接1.已知橢圓b＞0)的左、右焦點分別為F1、F2,過F1且與x軸垂直的直線交橢圓于A,B兩點,直線AF2與橢圓的另一個交點為C,若S△ABC=3S△BCF2,則橢圓的離心率為( )。

解析:設橢圓的左、右焦點分別為F1(-c,0)、F2(c,0),由x=-c,代入橢圓方程可得可設y),由S△ABC=3S△BCF2。 可 得即有即2c=2x-可得代入橢圓方程可得由c2,可得,解得故選A。

類型二、與圓錐曲線有關的最值問題和取值范圍問題

例2在等腰梯形ABCD中,AB∥CD,且|AB|=2,|AD|=1,|CD|=2x,其中x∈(0,1),以A,B為焦點且過點D的雙曲線的離心率為e1,以C,D為焦點且過點A的橢圓的離心率為e2,若對任意x∈(0,1)都有不等式恒成立,則t的最大值為( )。

解析:如圖2,過D作DE⊥AB交AB于E,則AE=1-x,EB=1+x,所以所以e1=所以則e1+e2因為所以e1+e2＞所以故選C。

圖2

評注:拋物線的定義是轉化拋物線上的點到焦點距離和到準線距離的橋梁,通過設點的坐標并結合拋物線的定義,將待求對象坐標化,同時結合拋物線的方程消元,利用函數(shù)思想求解最值問題是常見的求最值的方法,有時還可以用幾何平面幾何知識求解。

相關鏈接2.如圖3,直線x=m與拋物線x2=4y交于點A,與圓x2+(y-1)2=4 的實線部分(即在拋物線內(nèi)的圓弧)交于點B,F為拋物線的焦點,則△ABF的周長的取值范圍是( )。

圖3

A.(4,6) B.(4,6]

C.(2,4) D.(2,4]

解析:因為圓x2+(y-1)2=4的圓心為(0,1),拋物線的方程為x2=4y,所以圓心與拋物線的焦點重合,所以|FB|=2,|AF|=yA+1,|AB|=yB-yA,所以△ABF的周長為2+yA+1+yB-yA=yB+3。因為1＜yB＜3,所以△ABF的周長的取值范圍是(4,6)。故選A。

相關鏈接3.已知直線x+y-k=0(k＞0)與圓x2+y2=4交于不同的兩點A,B,O是坐標原點,且有那么k的取值范圍是( )。

解析:設AB的中點為D,則OD⊥AB。因為所 以所 以因 為所以因為直線x+y-k=0(k＞0)與圓x2+y2=4交于不同的兩點,所以所以1≤即解得故選C。

類型三、平面圖形與圓錐曲線相結合的問題

例3設雙曲線＞0)的左焦點為F(-c,0),點M,N在雙曲線C上,O是坐標原點,若四邊形OFMN為平行四邊形,且四邊形OFMN的面積為cb,則雙曲線C的離心率為( )。

解析:設M(x0,y0),因為四邊形OFMN為平行四邊形,所以因為四邊形OFMN的面積為所以即所以代入雙曲線方程得因為e＞1,所以故選D。

評注:求離心率問題實質上是根據(jù)已知條件,挖掘題中a,b,c的等量關系或者不等關系,可以借助平面圖形自身滿足的條件或者點的坐標所滿足的方程或者范圍等,本題利用平行四邊形的性質并結合雙曲線方程和平行四邊形的面積公式得到關于a,b,c的方程,進而確定離心率的值。

相關鏈接4.已知橢圓和雙曲線有共同的焦點F1,F2,P是它們的一個交點,且記橢圓和雙曲線的離心率分別為e1,e2,則的最大值為( )。

解析:考查一般性結論,當∠F1PF2=θ時,設|PF1|=m,|PF2|=n,橢圓的長半軸長為a1,雙曲線的長半軸長為a2,兩曲線的焦距為c,結合題意有m+n=2a1,|m-n|=2a2。兩式平方相加可得m2+n2=2(+);兩式平方作差可得mn=-。由余弦定理得4c2=m2+n2-2mncosθ,則4c2=即2c2=(1-即結合二倍角公式有

【歸納領悟】

1.求解圓錐曲線的離心率的常用方法

求橢圓、雙曲線的離心率,關鍵是根據(jù)已知條件確定a,b,c的等量關系,然后把b用a,c代換,最后求得的值。在雙曲線中,由于故雙曲線的漸近線與離心率密切相關。求離心率的范圍問題關鍵是確立一個關于a,b,c的不等式,再根據(jù)a,b,c的關系消掉b得到關于a,c的不等式,由這個不等式可以確定a,c的關系,從而求得離心率的范圍。

2.求解特定字母取值范圍問題的常用方法

(1)構造不等式法。根據(jù)題設條件及曲線的幾何性質(如:曲線的范圍、對稱性、位置關系等),建立關于特定字母的不等式或不等式組,然后解不等式或不等式組,從而求得特定字母的取值范圍。

(2)構造函數(shù)法。根據(jù)題設條件,用其他的變量或參數(shù)表示欲求范圍的特定字母,即建立關于特定字母的目標函數(shù),然后研究該函數(shù)的值域或最值情況,從而得到特定字母的取值范圍。

(3)數(shù)形結合法。研究特定字母所對應的幾何意義,然后根據(jù)相關曲線的定義、幾何性質,結合數(shù)形結合的方法求解。

3.求解圓錐曲線中的最值問題的常用方法

(1)幾何方法。利用曲線的定義、幾何性質,以及平面幾何中的定理、性質等進行求解。

(2)代數(shù)方法。把要求最值的幾何量或代數(shù)表達式表示為某個(些)參數(shù)的函數(shù)(解析式),然后利用函數(shù)方法、不等式方法等進行求解。

常見的幾何方法有:①直線外一定點P到直線上各點距離的最小值為點P到直線的垂線段的長度;②圓C外一定點P到圓上各點距離的最大值為|PC|+r,最小值為|PC|-r(r為圓C半徑);③過圓C內(nèi)一定點P的圓的最長的弦即為經(jīng)過P點的直徑,最短的弦為過P點且與經(jīng)過P點的直徑垂直的弦;④圓錐曲線上本身存在最值問題,如:橢圓上兩點間最大距離為2a(長軸長);雙曲線上兩點間最小距離為2a(實軸長);橢圓上的點到焦點的距離的取值范圍為[a-c,a+c],a-c與a+c分別表示橢圓的焦點到橢圓上點的最小與最大距離;拋物線上的點中頂點與拋物線的準線距離最近。

常用的代數(shù)方法有:①利用二次函數(shù)求最值;②通過三角換元,利用正、余弦函數(shù)的有界性求最值;③利用基本不等式求最值;④利用導數(shù)法求最值;⑤利用函數(shù)單調性求最值。