解析幾何知識結構與拓展

■江蘇省沭陽高級中學 易蘇勝

一、知識結構框架

二、結構與分析

通過本單元的學習,同學們在平面直角坐標系中,認識直線、圓、橢圓、拋物線、雙曲線的幾何特征,建立它們的標準方程,運用代數(shù)方法進一步認識圓錐曲線的性質及它們的位置關系;運用平面解析幾何方法解決簡單的數(shù)學問題和實際問題,感悟平面解析幾何中蘊含的數(shù)學思想。本部分也是高考命題的重點,其中圓錐曲線綜合問題難度較大。

典例1已知雙曲線0,b＞0)的離心率為2,過右焦點且垂直于x軸的直線與雙曲線交于A,B兩點。設A,B到雙曲線同一條漸近線的距離分別為d1和d2,且d1+d2=6,則雙曲線的方程為( )。

分析:利用離心率的大小得出漸進線方程并表示出點A與點B的坐標是求解本題的關鍵。

解:因為雙曲線的離心率為2,所以所以3,即b2=3a2,所以c2=a2+b2=4a2,由題意可設A(2a,3a),B(2a,-3a)。

又因為d1+d2=6,所以解得a= 3,所以b2=9,所以雙曲線的方程為故選C。

方法歸納:求雙曲線標準方程的常用方法:(1)定義法。根據(jù)題目的條件,若滿足雙曲線的定義,求出a,b的值,即可求得方程。(2)待定系數(shù)法。根據(jù)題目條件確定焦點的位置,從而設出所求雙曲線的標準方程,利用題目條件構造關于a,b的值,即可求得方程。

典例2設橢圓的左焦點為F,上頂點為B。已知橢圓的短軸長為4,離心率為

(1)求橢圓的方程;

(2)設點P在橢圓上,且異于橢圓的上、下頂點,M為直線PB與x軸的交點,點N在y軸的負半軸上。若|ON|=|OF|(O為原點),且OP⊥MN,求直線PB的斜率。

分析:(1)根據(jù)已知條件及a2=b2+c2求出a,b,c的值,即可得到橢圓的方程;(2)先根據(jù)題意設直線PB的斜率為k(k≠0),得到PB的方程,與橢圓方程聯(lián)立,用斜率k表示出點P的坐標,再借助兩直線的垂直關系建立方程,即可獲解k值。

解:(1)設橢圓的半焦距為c,依題意知,由a2=b2+c2,得b=2,c=1,所以橢圓的方程為

(2)由題意,設P(xP,yP)(xP≠0),M(xM,0)。設直線PB的斜率為k(k≠0),又B(0,2),則直線PB的方程為y=kx+2,與橢圓方程聯(lián)立整理得(4+5k2)x2+20kx=0,可得代入y=kx+2得進而直線OP的斜率在y=kx+2中,令y=0,得由題意得N(0,-1),所以直線MN的斜率為由OP⊥MN,得化簡得k2=從而所以直線PB的斜率為或

方法歸納:圓錐曲線問題常常涉及求方程,聯(lián)立方程等。常用步驟是:①根據(jù)已知條件,建立關于a,b,c的方程或方程組,求出其值,再代入原方程,即可求出所給的曲線方程;②設出所給直線的方程(注:根據(jù)題設判斷是否需要討論斜率不存在的情況),把直線方程與圓錐曲線方程聯(lián)立,利用已知條件建立方程或方程組;③有關弦長問題,可借助弦長公式求解。

典例3(2019年重慶市七校聯(lián)考)已知A,B是x軸正半軸上兩點(A在B的左側),且|AB|=a(a＞0),過A,B分別作x軸的垂線,與拋物線y2=2px(p＞0)在第一象限分別交于D,C兩點。

(1)若a=p,點A與拋物線y2=2px的焦點重合,求直線CD的斜率;

(2)若O為坐標原點,記△OCD的面積為S1,梯形ABCD的面積為S2,求的取值范圍。

分析:確定點A,B,C,D的坐標,利用直線的斜率公式求解;(2)設出直線方程,聯(lián)立直線方程與拋物線方程,消元,利用根與系數(shù)的關系,點到直線的距離公式,表示出面積,即可求出范圍。

解:(1)由題意知則則又a=p,所以

(2)設直線CD的方程為y=kx+b(k≠0),C(x1,y1),D(x2,y2),由得ky2-2py+2pb=0,所以Δ=4p2-8pkb＞0,得又由可知k＞0,b＞0。因為點O到直線CD的距離d=所以又所以因為所以

方法歸納:直線與拋物線的位置關系問題,通常通過設方程、聯(lián)立方程、消元、判別式、根與系數(shù)的關系等環(huán)節(jié)進行處理。

典例4(2019年河北省九校聯(lián)考)已知橢圓(a＞b＞0)的離心率為點P(0,1)在短軸CD上,且-1。

(1)求橢圓E的方程;

(2)過點P的直線l與橢圓E交于A,B兩點,若求直線l的方程。

分析:(1)由橢圓的離心率及=-1,可求得b2,a的值,從而得橢圓方程;(2)考慮直線l的斜率是否存在,分情況討論,由根與系數(shù)的關系及求解。

解:(1)由題意知得不妨取C(0,b),D(0,-b),所以所以b2=2,所以a=2,所以橢圓E的方程為

(2)當直線l的斜率不存在時不符合題意,故此時不存在這樣的直線l。

當直線l的斜率存在時,設直線l的方程為y=kx+1,A(x1,y1),B(x2,y2)。聯(lián)立方程得整理得(1+2k2)x2+4kx-2=0,由根與系數(shù)的關系得x1+x2=由得所以x2=所以解得所以所以直線l的方程為

方法歸納:涉及直線與圓錐曲線相交,未給出直線方程時,需要根據(jù)已知條件設出直線方程(注意斜率是否存在),然后聯(lián)立組成方程組,消元得一元二次方程,根據(jù)具體問題,應用根與系數(shù)的關系求解,其中要注意判別式的約束作用。

典例5(2019年福建五校聯(lián)考)已知橢圓的離心率為上頂點M到直線的距離為3。

(1)求橢圓C的方程。

(2)設直線l過點(4,-2),且與橢圓C相交于A,B兩點,l不經過點M,證明:直線MA的斜率與直線MB的斜率之和為定值。

分析:(1)根據(jù)題設列出關于a,b,c的方程,求出a,b的值;(2)設出直線l的方程,然后與橢圓方程聯(lián)立得方程組,由韋達定理得x1+x2,x1x2的表達式,把它們代入kMA+kMB的代數(shù)式中,從而獲解。

解:(1)由題意得解得所以橢圓C的方程為

(2)易知直線l的斜率恒小于0,所以可設直線l的方程為y+2=k(x-4),k＜0,A(x1,y1),B(x2,y2)。

方法歸納:在圓錐曲線與直線、圓、向量等知識的綜合問題中,求解有關定值問題時,往往需要靈活運用“設而不求”的技巧,關鍵在于結合目標問題進行相關的代數(shù)運算,另外,還要注意數(shù)形結合思想、分類討論思想、化歸轉化思想等在解題中的靈活運用。