利用空間向量解決立體幾何問題的創新熱點直擊

■河南省羅山縣高級中學 楊 希

利用空間向量解決立體幾何問題在高考中主要有三類:異面直線所成的角、直線與平面所成的角、二面角。從這三個角度出發,我們來談談折疊問題、動態問題、探索性問題如何與其交匯,形成創新熱點題型。

創新角度一、折疊背景下探究異面直線所成的角

(1)設a,b分別是兩異面直線l1,l2的方向向量,若l1與l2所成的角為θ,則θ的范圍為且若a與b的夾角 為〈a,b〉,則〈a,b〉的范圍為[0,π],且

(2)利用向量法求異面直線所成的角的一般步驟為:

①選好基底或建立空間直角坐標系;

②求出兩直線的方向向量v1,v2;

(3)求異面直線所成角時的注意點:

兩異面直線所成角的范圍是θ∈兩向量的夾角α的范圍是[0,π],當異面直線的方向向量的夾角為銳角或直角時,就是該異面直線的夾角;當異面直線的方向向量的夾角為鈍角時,其補角才是異面直線的夾角。

例1將正方形ABCD沿對角線AC折起,當以A,B,C,D四點為頂點的三棱錐體積最大時,則異面直線AD與BC所成的角為( )。

解析:不妨以△ABC為底面,則由題意當以A,B,C,D為頂點的三棱錐體積最大,即點D到底面△ABC的距離最大時,平面ADC⊥平面ABC。

設O是AC的 中點,連接BO,DO,則易知BO,CO,DO兩兩互相垂直。

以O為坐標原點,建立如圖1 所示的空間直角坐標系。

圖1

令BO=CO=DO=1,則O(0,0,0),A(0,-1,0),D(0,0,1),B(1,0,0),C(0,1,0),于 是

所以異面直線AD與BC所成的角為

答案:C。

創新角度點評:通常情況下,我們都是在現成的空間幾何體內求解異面直線所成的角,這就為我們尋找異面直線所成的角創造了現成的觀察平臺。 如果幾何圖形需要折疊,而折疊后所得到的是一個空間幾何體,這就需要我們用全新的眼光去定奪一個 “新生事物”,判斷是否有暗礁與險灘,我們需要小心為事。

創新角度二、動態狀態下已知線面角求線段的長度

(1)設直線l的方向向量為a,平面α的法向量為n,直線l與平面α所成的角為θ,則

①分別求出斜線和它在平面內的射影,直線的方向向量,將問題轉化為求兩個方向向量的夾角(或其補角)。

②通過平面的法向量來求,即求出斜線的方向向量與平面的法向量所夾的銳角或鈍角的補角,取其余角就是斜線和平面所成的角。

(3)利用平面的法向量求線面角的兩個注意點:

①求出直線的方向向量與平面的法向量所夾的銳角(鈍角時取其補角),取其余角即為所求。

②若求線面角的余弦值,要注意利用平方關系sin2θ+cos2θ=1 求出其值。不要誤認為直線的方向向量與平面的法向量所夾角的余弦值就是所求。

例2如圖2所示,已知四棱錐P-ABCD中,PA⊥ 面ABCD,∠ABC=90°,△ABC≌ △ADC,O為AC的 中 點,E是PC的中點,AC=2AB=2。

圖2

(1)求證:平面DOE∥平面PAB;

首先是純文學陣地大面積失守。純文學原有陣地包括圖書、期刊、報紙副刊三大塊。出版社被推向市場后，經濟效益成為更現實的問題，純文學圖書的出版日漸蕭條，單本書平均銷量持續下滑，達不到一定發行量的純文學作品基本無緣面世。受新媒體沖擊，報業立足生存嘗試各種改版，產生不了直接經濟效益的文學副刊大多被文化娛樂版面替代，即便保留也是替補角色，上場機會極少。純文學陣地僅剩文學期刊，這塊陣地也大片丟失，“最后還在頑強堅守的能夠刊載原創純文學作品的刊物也就幾十家了。在這幾十家中目前可以以發行量生存的不足十家，大多數是要依賴政府的公益撥款來維持生命的。”［2］

(2)若直線ED與平面PBC所成角的正弦值為求PA的長度。

解析:(1)因為O為AC的中點,且∠ABC=90°,所以

同理,DO=1。

又因為AB=AD=1,所以四邊形ABOD是菱形,所以DO∥AB。

又因 為O為AC的 中 點,E是PC的 中點,所以OE∥PA。

又因為OD∩OE=O,PA∩AB=A,OD,OE?平面ODE,PA,AB?平面PAB,所以平面DOE∥平面PAB。

(2)設PA=t(t＞0),因為AB⊥BC,PA⊥面ABCD,所以以B為原點,BA為x軸,BC為y軸,過點B平行于AP的直線為z軸,建立空間直角坐標系,如圖3所示。

圖3

故B(0,0,0),

設面PBC的法向量為n=(x,y,z),則取x=t,得n=(t,0,-1)。

設直線ED與平面PBC所成的角為θ,則

創新角度點評:我們平時所見的絕大多數求解線面角問題,都是直接求直線的方向向量與平面的法向量,然后套用公式確定直線與平面所成的角。如果已知直線與平面所成的角(或角的三角函數值)去求解某條線段的長,那么線面角所在的幾何體就是一個 “動態”的,是需要我們去“調整”的,這里的“動態”與 “調整”指的就是可以去尋找方程,確定所求線段長度。

創新角度三、二面角與探索性問題

(1)利用向量計算二面角大小的常用方法:

①找法向量:分別求出二面角的兩個半平面的法向量,然后通過兩個半平面的法向量的夾角得到二面角的大小,但要注意結合實際圖形判斷所求角的大小。

②找與棱垂直的方向向量:分別在二面角的兩個半平面內找到與棱垂直且以垂足為起點的兩個向量,則這兩個向量的夾角的大小就是二面角的大小。

(2)利用法向量求二面角時的兩個注意點:

①對于某些平面的法向量要注意是隱含在已知條件中,不用單獨求。

②注意判斷二面角的平面角是銳角還是鈍角,可結合圖形進行,以防結論錯誤。

(3)利用空間向量解決探索性問題的這類題型,其考查形式主要是已知二面角的大小逆向探索求解 “點”的存在問題。若所探求的 “點”存在,則一般情況下是存在于線段的等分點,如二等分點、三等分點等。

例3如圖4 所示,三棱柱ABC-A1B1C1的側棱AA1⊥底面ABC,∠ACB=90°,E是棱CC1上的動點,F是AB的中點,AC=1,BC=2,AA1=4。

圖4

(1)當E是棱CC1的中點時,求證:CF∥平面AEB。1

(2)在棱CC1上是否存在點E,使得二面角A-EB1-B的余弦值是若存在,求EC的長;若不存在,請說明理由。

解析:(1)取AB1的中點G,連接EG,FG。

因為F,G分別是棱AB,AB1的中點,所以

又BB1∥CC1,且BB1=CC1,EC=,所以

所以FG∥EC,且FG=EC。

所以四邊形FGEC是平行四邊形,所以CF∥EG。

因為CF?平面AEB1,EG?平面AEB1,所以CF∥平面AEB1。

(2)以C為坐標原點,射線CA,CB,CC1為x軸,y軸,z軸的正半軸,建立如圖5 所示的空間直角坐標系C-xyz,則C(0,0,0),A(1,0,0),B1(0,2,4)。

圖5

設E(0,0,m)(0≤m≤4),平面AEB1的法向量n1=(x,y,z)。

令z=2,則n1=(2m,m-4,2)。

連接BE,因為CA⊥平面C1CBB1,所以=(1,0,0)是平面EBB1的一個法向量。

所以在棱CC1上存在點E,符合題意,此時EC=1。

創新角度點評:探索性問題一直以來就是一個熱點問題,而把探索性問題與二面角相結合就更是高考的熱點考查角度。一定要明確這類問題的解答思路,比如,該題的探索解決途徑體現在將點E的是否存在轉換為法向量n1=(2m,m-4,2)是否存在,而法向量n1=(2m,m-4,2)是否存在又體現于其中的m是否有解。