立體幾何“易錯問題”歸類剖析

■江蘇省江都中學 唐海軍

立體幾何主要考查空間想象能力(識圖、畫圖、用圖、構圖)、推理論證能力、運算求解能力、將 “空間問題平面化、模型化和代數化”的轉化能力,以及一些重要的數學思想方法的應用。同學們在學習和復習中受認知水平所限,容易出現種種思維誤區,本文對立體幾何中的易錯題歸類剖析,給出錯因分析和提醒,希望能助同學們一臂之力。

易錯1——三視圖還原幾何體時 “虛實不分，對應不當，不作檢驗”

例1如圖1,網格紙上的小正方形邊長為1,粗線是一個棱錐的三視圖,則此棱錐的體積為( )。

圖1

錯解:由三視圖知,四棱錐的底面為正方形,其邊長為2,高為2,則體積故選A。

錯因剖析:湊巧蒙對答案,還原幾何體時缺少模型化的意識。

正解:由三視圖知該棱錐為一個邊長為2的正方體中的四棱錐,如圖2所示,底面是矩形A1B1CD,寬CD=2,長因為CD⊥平面ADD1A1,所以平面A1B1CD⊥平面ADD1A1,過D1作A1D的垂線D1E,則有D1E⊥ 平面A1B1CD,即 高D1E=所以棱錐的體積V=

圖2

提醒:由三視圖還原幾何體求體積,要弄清幾何體的特征,把三視圖中的數據、圖形特點準確地轉化為對應幾何體中的線段長度、圖形特點,進而用公式求解。若幾何體的三視圖中至少有兩個視圖為三角形,則該幾何體為錐體;如果三視圖中出現兩個或三個矩形或直角三角形,就可考慮以長方體為載體進行視圖還原。

易錯2——三棱錐體積求解中忽略 “等積變換”

例2如圖3,在棱長為5 的正方體ABCDA1B1C1D1中,EF是棱AB上的一條線段,且EF=2,Q是A1D1的中點,P是棱C1D1上的動點,則四面 體PQEF的 體 積( )。

圖3

A.有最小值的一個變量

B.有最大值的一個變量

C.沒有最值的一個變量

D.一個不變量

錯解:選A 或B或C。

錯因剖析:忽略三棱錐體積等積變換的目標:找出易求的底面和高。

正解:連接QA,則QA為Q點到AB的距離。又因為EF=2,故S△QEF為定值。又因為C1D1∥AB,則由線面平行的判定定理易得C1D1∥面QEF。又P是棱C1D1上的動點,故P點到平面QEF的距離也為定值,即四面體PQEF的底面積和高均為定值,所以四面體PQEF的體積為定值。故選D。

提醒:對于三棱錐的體積,可任選一面作底面,目標是易求出該底面面積和對應的高。

易錯3——將空間問題轉化為平面問題時，缺少割補法的意識

例3一個盛滿水的三棱錐容器,不久發現三條側棱上各有一個小洞D,E,F,且知SD∶DA=SE∶EB=CF∶FS=2∶1,如圖4 所示,若仍用這個容器盛水,則最多可盛水的體積是原來的( )。

圖4

錯解:選A 或B或C。

錯因剖析:不理解這個容器盛水最多的意義,由過D或F作面ABC的平行平面,通過規則幾何體的體積求出不規則幾何體的體積。

正解:當平面EFD處于水平位置時,容器盛水最多,所以則最多可盛水的體積是原來故選D。

提醒:理解這個容器盛水最多的意義是解答的關鍵,將非規則體轉化為規則體進行求解。

易錯4——缺少 “作直接面化斜為直”割補法求體積的意識

例4斜三棱柱ABC-A1B1C1的底面是邊長為a的正三角形,側棱長等于b,一條側棱AA1與底面相鄰兩邊AB、AC都成45°角,求這個三棱柱的側面積和體積。

錯解:側面積體積

錯因剖析:錯解中把三棱柱當作直三棱柱求側面積和體積,缺少作直截面化斜為直的方法。

圖5

正解:“過BC作平面與AA1垂直于M”是求解的關鍵。 如圖5,過點B作BM⊥AA1于M,連接CM,在△ABM和△ACM中, 因 為AB=AC,∠MAB= ∠MAC=45°,MA為公共邊,所以△ABM≌△ACM,所以∠AMC= ∠AMB=90°,所 以AA1⊥ 面BMC,即平面BMC為直截面。又BM=CM所以△BMC的周長為因為棱長為b,所以S側= (1+ 2)ab,V=S△BMC·AA1=

提醒:斜棱柱的側面積和體積的計算,常常依據題設的特殊性構建棱的直接面,利用割補法化歸為底面為直接面、高為側棱長的直棱柱,其S側=C直截面×L側棱,V=S直截面×L側棱。

易錯5——盲目類比平面幾何中的定理和性質

例5如圖6 所示,已知E,F分別是正方體ABCD-A1B1C1D1的棱AA1,CC1上的點,且AE=C1F。 求 證:四 邊 形BED1F是平行四邊形。

圖6

錯 解:在 正 方 體ABCD-A1B1C1D1中,平面A1ADD1∥平面B1BCC1,由兩平行平面與第三平面相交得交線平行,故D1E∥FB,同理可證D1F∥EB,故四邊形EBFD1為平行四邊形。

錯因剖析:盲目地套用平面幾何定理。

正解:在△ABE和△C1D1F中,因為AB=C1D1,AE=C1F,∠EAB= ∠FC1D1=90°,所以Rt△EAB≌Rt△FC1D1,所以EB=D1F。 同 理 可 證D1E=BF。 連 接EF,BD1,則它們相交于各自中點,從而B,E,F,D1四點在同一平面內。 所以四邊形EBFD1是平行四邊形。

提醒:平面幾何中的有關結論在空間不一定成立,平面幾何中的結論在立體幾何中應用時應遵循兩點:(1)空間中放在同一平面內用;(2)先證明在空間是真命題再用。

易錯6——折疊問題中忽視折疊前后的“不變量”

例6△ABC的邊BC上的高線為AD,BD=a,CD=b,將△ABC沿AD折成大小為θ的二面角B-AD-C,若則三棱錐A-BCD的側面三角形ABC是( )。

A.銳角三角形

B.鈍角三角形

C.直角三角形

D.形狀與a、b的值有關的三角形

錯解:選D。

錯因剖析:將平面圖形折成空間圖形后線面位置關系理不清,易瞎猜。

正解:作出平面圖形(圖7)和空間圖形(圖8),尋求折疊前后在同一平面內的圖形為不變量切入,如圖8,且BD=a,CD=b,由余弦定理所以BC2=b2-a2,則BD⊥BC。又AD⊥面BCD,所以AD⊥BC,所 以BC⊥ 面ABD,所以BC⊥AB,即△ABC為直角三角形。故選C。

圖7

圖8

提醒:翻折與展開是一個問題的兩個方面,均要注意平面圖形與立體圖形各個對應元素的相對變化,元素間的大小與位置關系。在翻折過程中,處在同一個半平面內的元素是不變的,弄清這一點是解決這類問題的關鍵。

易錯7——混淆二面角與兩向量夾角的概念

例7如圖9,在四棱錐V-ABCD中, 底面ABCD是正方形,側面VAD是正三角形,平面VAD⊥底面ABCD,求 二面角A-VD-B的余弦值。

圖9

錯解:過V作VO⊥AD于O,由已知平面VAD⊥底面ABCD,所以VO⊥底面ABCD,所以以OA,OV分別為x軸,z軸建立如圖10所示的空間坐標系,分別計算出面VAD與面VBD的法向量為n1=(0,1,0),所 以

所以二面角A-VD-B的余弦值為

剖析:法向量的夾角與二面角相等或互補,本題中觀察知二面角A-VD-B為銳二面角。

正解:錯解中應補充,由圖形知二面角A-VD-B為銳二面角,則二面角A-VD-B的余弦值為

提醒:利用空間向量求二面角,先求兩平面的法向量,利用向量的夾角公式求出兩法向量的夾角,二面角的平面角與法向量的夾角相等或互補,具體是哪一種,一般有兩種判斷方法:(1)根據圖形判斷二面角是銳角還是鈍角;(2)根據兩法向量的方向判斷。