空間幾何測試題A 參考答案

一、選擇題

1.B 2.C 3.D 4.B 5.D 6.D

7.A 8.B 9.C 10.C 11.A 12.B

二、填空題

13.18 2π 提示:設圓錐的側面展開圖扇形的半徑為R,則側面展開圖扇形的面積所以R=9。又設圓錐的底面圓半徑為r,則所以r=所以圓錐的高所以該圓錐體的體積是

15.45° 提示:因為AB⊥BC,AB⊥BC1,所以∠C1BC為二面角C1-AB-C的平面角,其大小為45°。

16.26 提示:如圖2,因為AB⊥CD,AD=BD,AB=10(寸),所 以AD=5(寸),在Rt△AOD中,因為OA2=OD2+AD2,所以OA2=(OA-1)2+52,所以OA=13(寸),所以圓柱底面的直徑長是2AO=26(寸)。

圖2

三、解答題

17.由已知可得,該幾何體是一個底面為矩形,高為4,頂點在底面的射影是矩形中心的四棱錐V-ABCD,如圖3所示。

圖3

(1)V64。

(2)該四棱錐有兩個側面VAD、VBC是全等的等腰三角形,且BC邊上的高為h1=另兩個側面VAB,VCD也是全等的等腰三角形,AB邊上的高為因此

18.(1)如圖4,連接AC1,設AC1∩A1C=O,連接OD,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,側面ACC1A1是平行四邊形,所以O為AC1的中點。 又因為D是棱AB的中點,所以OD∥BC1。又因為BC1?平面A1CD,OD?平面A1CD,所以BC1∥平面A1CD。

圖4

(2)由(1)可知,側面ACC1A1是平行四邊形,因為AC=AA1,所以平行四邊形ACC1A1是菱形,所以AC1⊥A1C。在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1⊥平面ABC,因為AB?平面ABC,所以AB⊥AA1。又因為AB⊥AC,AC∩AA1=A,AC? 平 面ACC1A1,AA1? 平 面ACC1A1,所 以AB⊥平面ACC1A1。 因為A1C?平面ACC1A1,所以AB⊥A1C。又因為AC1⊥A1C,AB∩AC1=A,AB? 平 面ABC1,AC1? 平 面ABC1,所以A1C⊥平面ABC1。因為BC1?平面ABC1,所以BC1⊥A1C。

19.(1)假設AE與PB共面,設平面為α,因為A∈α,B∈α,E∈α,所以平面α即為平面ABE,所以P∈平面ABE,這與P?平面ABE矛盾,所以AE與PB是異面直線。

(2)如圖5,取BC的中點F,連接EF,AF,則EF∥PB,所以∠AEF或其補角就是異面直線AE和PB所成角。

圖5

因為∠BAC=60°,PA=AB=AC=2,PA⊥平面ABC,所以由余弦定理易得

所以異面直線AE和PB所成角的余弦值為

(3)因為E是PC的中點,所以E到平面ABC的距離為,所以V三棱錐A-EBC=

20.(1)因為PA⊥平面ABCD,所以PA⊥CD。又AC⊥CD,CA∩PA=A,所以CD⊥平面PAC。所以在Rt△PCD中,又在Rt△PAC中所以所以在△ACD中,AD=2,∠CAD=60°。

因為∠BCA=60°,所以在底面ABCD中,BC∥AD。 又因為AD?平面PAD,BC?平面PAD,所以BC∥平面PAD。

(2)因為點M在PB上,設

所以V三棱錐M-PCD=λV三棱錐B-PCD=λV三棱錐P-BCD解得所以點M是線段PB靠近點P的三等分點。

21.(1)因為E,F分別為AB,AC邊的中點,所以EF∥BC。因為∠ABC=90°,所以EF⊥BE,EF⊥PE。又因為BE∩PE=E,所以EF⊥平面PBE。

(2)取BE的中點O,連接PO,由(1)知EF⊥平面PBE,EF?平面BCFE,所以平面PBE⊥平面BCFE。因為PB=BE=PE,所 以PO⊥BE。 又 因 為PO?平面PBE,平面PBE∩平面BCFE=BE,所以PO⊥平面BCFE。過O作OM∥BC交CF于M,分別以OB,OM,OP所在直線為x軸,y軸,z軸,建立空間直角坐標系O-xyz,如圖6所示。

圖6

N為線段PF上一動點,設N=(x,y,z),由得

設平面PCF的一個法向量為m=(x,y,z),則即取y=1,所以m=(-1,1,3)。

設直線BN與平面PCF所成角為θ所以直線BN與平面PCF所成角的正弦值的最大值為