淺談高職數學中無窮小的教學

摘 要：無窮小無窮大是高等數學微積分部分的重點。而這部分內容的學習抽象，高職學生數學基礎知識比較薄弱，理解和接受能力較差，按照常規的方法講解，學生接受感到困難，學習效果不佳。教學中首先從復習極限的定義及運算法則入手，尤其要對自變量的幾種變化幫助他們歸納總結;在此基礎上再介紹無窮小定義并對無窮小定義的注意點逐個舉例剖析;最后對它的性質詳細地按照學生的加減乘除的思維習慣一一進行舉例分析，較好地符合了高職學生的認知規律，經檢驗學生掌握得較好，學習效果明顯。

關鍵詞：極限;運算法則;無窮小;性質;比較;應用

在實際問題中，我們經常遇到極限為零的變量。例如電容器放電時，其電壓隨著時間的增加而逐漸減小并趨于零;又如單擺離開鉛直位置而擺動，由于空氣阻力和機械摩擦力的作用，它的振幅隨著時間的增加而逐漸減小并趨近于零等。無窮小在科學技術和生產實踐中應用廣泛。

在高等數學的學習中它既是前面函數極限知識的深入又是后續知識無窮小的比較、無窮小及無窮小的等價替換求其它函數極限等的鋪墊，在微積分的學習中起到承上啟下的連接作用。

高職數學課程標準中也明確規定這部分是微積分學習的重點。而這部分內容的學習抽象，高職學生數學基礎知識比較薄弱，理解和接受能力較差，學習感到困難，學習效果不佳。現在教學中首先從復習極限的定義及運算法則入手;其次，把無窮小的定義的自變量的各種變化趨勢下的情況及記號一一闡述;再對無窮小定義的注意點逐個舉例對比;最后對它的性質詳細地按照學生的加減乘除的思維習慣一一進行舉例、分析，較好地符合了學生的認知規律。經檢驗學生掌握得快，學習效果明顯。

一、復習（知識準備）

（1）數列極限的定義記號，函數極限的定義記號。

（2）極限的運算法則。

兩個函數和或差的極限、兩個函數乘積的極限、兩個函數商的極限及由它們得到的推論。

二、無窮小的概念

（一）無窮小定義

如果當x→x0（或x→SymboleB@）時，函數fx的極限為零，那么稱函數fx當x→x0（或x→SymboleB@）時為無窮小，記為limfx=0。

（二）在自變量的不同的變化趨勢下無窮小的幾種情況

根據上面所復習的極限的儲備知識和介紹的無窮小的定義，舉例講清關于無窮小的六種具體情況：

（1）當自變量無限趨近于一個實數時的情況x→x0、x→x0+及x→x0-。

（2）當自變量x的絕對值無限增大時的情況x→SymboleB@、x→+SymboleB@及x→-SymboleB@。

（三）關于無窮小注意點

1.無窮小與絕對值很小的數的區別

通常無窮小是個變量，極限為零;而絕對值很小的數是常數，常數的極限還是常數。

例1 limx→SymboleB@1x2=0， limx→SymboleB@1×10-100000=1×10-100000

剖析：在x→SymboleB@的過程中1x2的絕對值越來越小，所以極限為0。而1×10-100000是常數，在x的絕對值無限增大的過程中它的值不變，估極限還是1×10-100000本身而不是0，所以不是無窮小。

2.無窮小與常數“0”的區別與聯系

例2 limx→SymboleB@1x2=0 limx→SymboleB@0=0

剖析：根據無窮小的定義：1x2是x→SymboleB@時的無窮小，在 x→SymboleB@的過程中是變量;而常數“0”在x→SymboleB@的過程中始終是常數“0”。

3.不可離開自變量的變化趨勢而言無窮小

例3 limx→SymboleB@1x2=0 limx→01x2=+SymboleB@

剖析：1x2是 x→SymboleB@時的無窮小量，而當 x→0時就變為無窮大。

三、無窮小的性質

（一）有限個無窮小的代數和為無窮小，無窮多個無窮小的和未必一定是無窮小

例如：x2和sinx是當x→0時的兩個無窮小，當x→0時它們的和（x2+sinx）的極限根據運算法則也是0，所以（x2+sinx）也是x→0時的無窮小。

而1n，1n，…，1n都是n→SymboleB@時的無窮多個無窮小，當n→SymboleB@時1n+1n+…+1n的極限卻是1，所以這n個無窮小的和不是n→SymboleB@時的無窮小，而是以1為極限的變量。

（二）有限個無窮小的乘積為無窮小，而無窮多個無窮小的積未必一定是無窮小

例如：limx→0（2x·tan2x）=0，即這兩個無窮小的積仍為無窮小。而無窮多個數列①1， 12， 13， 14， 15， 16，…，16，…; ②1， 2， 13，14， 15， 16，…，1n，…;③1， 1， 32， 14， 15， 16，…，1n，…;……第n個數列前n-1項為1，第n項為 nn-1，第n項以后為1n+1，1n+2，1（n+3），…。這樣n個數列的極限都為0也就是都為無窮小，但是把這n個數列乘起來，得一個新數列，新數列每一項都是1，此數列為1，1，1，…，1，…。所以新數列的極限是1。所以這無窮多個無窮小的乘積的極限是1不是無窮小。

（三）無窮小與有界函數的積為無窮小

例如：limx→0xsin（1x）=0，因為x是x→0時的無窮小，而sin1xSymbolcB@1，所以sin1x是有界函數。根據以上無窮小的性質可知limx→0xsin1x=0。

剖析：①因為雖然limx→0x=0，但 limx→0sin1x不存在，所以不可運用極限的運算法則計算。②提醒學生解此題應掌握什么是有界函數及常見的有界函數有那些必要時可適當記憶。③教給學生利用此性質求極限的說理過程，而不可只寫個結論，說不清理由。

（四）常數與無窮小的積仍為無窮小

（五）恒不為零的無窮小的倒數為無窮大，無窮大的倒數為無窮小

（六）兩個無窮小的商未必是無窮小

兩個無窮小的和差積仍為無窮小，兩個無窮小的商未必是無窮小。下面例舉兩個無窮小之商的各種情況進行剖析。例如：當 x→0時，5x，2x，x2都是無窮小。而limx→05x2x=52（兩個無窮小的商的極限為52≠1）;limx→0x25x=0（兩個無窮小的商的極限為0）;limx→05xx2=SymboleB@（兩個無窮小的商的極限為SymboleB@）。

可見兩個無窮小的商未必是無窮小。它反映了分子分母趨于0的快慢程度的不同。為了對無窮小趨于0的速度有一個定性的準確的描述，我們引出“無窮小的階”的概念。也就是無窮小的比較：根據兩個無窮小的商的極限的結果我們的出結論：（1）兩個無窮小的商的極限為常數稱兩者為同階無窮小。（2）兩個無窮小的商的極限為零稱分子是比父母較高階的無窮小。（3）兩個無窮小的商的極限為無窮大稱分子是比父母較低階的無窮小。

四、通過舉例講解應用無窮小的性質求極限、無窮大無窮小的關系求極限、無窮小的比較中等價無窮小量代換求極限，使學生更深入理解有關無窮小的概念

五、布置課后練習鞏固有關無窮小的知識點

上述有關無窮小概念及其性質中的各個知識點，不是一層不變的而是需要具體問題具體對待的，除了課上通過具體的進行細致的剖析，課后還得進行一定量的練習才能幫助學生更好地掌握這部分內容。

參考文獻：

[1]曹瑞成，姜海勤.大學數學，蘇州大學出版社.

[2]教育部職業教育與成人教育司推薦教材五年制高等職業教育文化基礎課教學用書.數學二.

[3]駱汝九，曹玉平，姬天富.高職高專規劃教材.高等數學，蘇州大學出版社.

作者簡介：楊云，數學教研組。