一類幾何問題初高中解法的對比分析與反思

1 引子

2019年高考數學全國1卷的選擇題第四題有關“維納斯身高”的問題引起了各方熱議，筆者注意到網絡上有人說該題是初中題目，甚至還有人說這題小學生都可以做.筆者認為小學生能否做存在爭議（有些優秀的小學生當然沒問題），但本題拿給初中生做并沒有超出知識范圍，因為本題考查的知識點主要是比例、不等式等問題，而對于黃金比例這個數學知識（文化），許多版本的初中教材都有提到，因此說此題初中生能做是沒問題的.事實上有部分題目特別是一些平面幾何問題，既可以用高中教材講到的知識和方法去做，也可以用初中教材所講的知識和方法去做，兩類方法的思維差異何在？對教學有什么啟示？

筆者自工作以來在高中從教十三年，直到去年到農村初中支教一年，擔任初三數學的教學工作，對初高中考試或練習中都可以出現的一類平面幾何問題進行了初步的研究，也收獲了幾點教學上的感悟，現整理分享如下，權當拋磚引玉.

2 例題分析

例1 如圖1，F為正方形ABCD邊CD上一點，連接AC、AF，延長AF交AC的平行線DE于點E，連接CE，且AC=AE.求證：CE=CF.

思路分析 初高中的知識儲備不一樣，導致了解題分析的視角不一樣.高中生見到這個題目的已知條件，注意到已知條件中AD和AE的長度是有關系的，又易得∠ADE=135°，因而容易從綜合法的角度分析問題，利用已知條件在△ADE中使用高中熟悉的正弦定理來得出sin∠AED=12，進而得到∠CFE=∠CEF=75°，即證CE=CF.

高中解法 由已知條件易知∠ADE=135°，AE=AC=2AD，在△ADE中，由正弦定理有ADsin∠AED=AEsin∠ADE，化簡得ADsin∠AED=2ADsin135°，所以sin∠AED=12，即得∠AED=30°，因為AE=AC，所以∠FEC=180°-30°2=75°，又因為∠EFC=∠FAC+∠ACF=30°+45°=75°，所以∠FEC=∠EFC，所以CE=CF.

而對于初中生來說，要證明CE=CF往往是證明兩邊的對角相等，如果∠EAC的大小能求出則問題得到破解.由經驗可知初中階段求解的角一般都是特殊角，如30°和45°等，并且在求角的過程中往往需要構造直角三角形，結合本題中DE∥AC的條件，過點E作EH⊥AC于H，構建出直角三角形△AEH容易發現EH=12AE，從而得出∠EAC=30°.

初中解法 過點E作EH⊥AC，垂足為H，如圖2所示.因為DE∥AC，所以EH=AD·sin45°=22AD，又因為AE=AC=2AD，所以EH=12AE，所以∠EAH=30°，因為AE=AC，所以∠FEC=180°-30°2=75°，又因為∠EFC=∠FAC+∠ACF=30°+45°=75°，所以∠FEC=∠EFC，即證CE=CF.

點評 高中解法關注三角形中的邊與角是否存在數量關系，而不太關注邊與角的條件是否足夠特殊，而初中解法由于只能用最基本的定理和性質來解決問題，所以更關注題目條件的特殊性，以此為突破口并結合基本活動經驗來處理問題.

例2 如圖3，△ABC中，AB=AC，∠BAC=20°，點D在AB上，且有∠BDC=30°，求證：AD=BC.

思路分析 對于高中生來說，注意到已知條件中有邊的關系，又有角的條件，容易想到利用正弦定理來尋找AD、BC的關系.

高中解法 因為AB=AC且∠BAC=20°，所以∠B=∠ACB=80°，因為∠BDC=30°，所以∠DCA=∠BDC-∠BAC=10°.

在△ACD中由正弦定理有DCsin20°=ADsin10°，所以AD=12cos10°DC.

在△BCD中由正弦定理有DCsin80°=BCsin30°，所以BC=12cos10°DC，所以AD=BC.

而對于初中生來說，證明兩條邊的長度相等往往需要證明兩邊所在的兩個三角形全等，而其中的難點在于往往需要添加輔助線構造三角形.對于此題來說，還不能直接構造兩個三角形，需要注意到已知條件中幾個角的特殊關系，結合△ABC是個等腰三角形的條件，添加幾條輔助線構造兩個直角三角形.

初中解法 過點A作BC的垂線，垂足為E.過點A作CD的垂線，垂足為F，如圖4所示.

因為AB=AC且AE⊥BC，所以BE=EC，∠EAC=10°.

因為∠BDC=30°，所以∠DCA=∠BDC-∠BAC=10°.

又因為∠AFC=∠AEC=90°且AC=AC，所以△AFC△AEC，所以AF=EC.

因為∠BDC=30°且∠AFD=90°，所以AD=2AF，又因為BC=2EC，所以AD=BC.

點評 高中解法是一種從定量的角度處理的方法，只要借助正余弦定理或者勾股定理溝通已知條件與所求目標的關系，后面基本是常規的化簡運算.所以從高中解法的角度來說，例1和例2的解題思想都是一樣的，兩個題目本質上屬于同一類型題;而對于初中解法來說需要從條件的特殊性出發，“量身定制”必要的輔助線，選擇恰當的解題方法.通過例1和例2的具體解答可以發現，因為題目條件的不同，兩題初中解法的具體思路和解法還是有很大差異的.

例3 如圖5，AB=AC，∠CAB=90°，∠ADC=45°，AD=1，CD=3，求BD的長度.

思路分析 從高中生思維角度出發，由已知條件AD=1、CD=3和∠ADC=45°容易想到使用余弦定理可以求出AC，這樣要求BD只需在△ABD中再一次應用余弦定理即可.

高中解法 在△ADC中由余弦定理得

AC2=AD2+DC2-2DA·DC·cos∠ADC=10-32，所以BD2=AD2+AB2-2AD·AB·cos∠BAD=AD2+AC2-2AD·AB·cos（90°+∠DAC）=1+10-32+2AD·AB·sin∠DAC=11-32+2AD·AC·sin∠DAC=11-32+4S△ADC=11-32+4×12×1×3×sin45°=11，所以BD=11.

而此題對于初中生來說，求解目標BD的基本活動經驗是往往需要借助BD所在的一個直角三角形使用勾股定理來解決，然而本題的難點在于現有已知條件中并沒有含BD邊的直角三角形，這需要學生自己去構造出來.

初中解法 過點A作AE⊥AD交DC于E，因為∠ADC=45°，AE⊥AD，所以∠AED=45°，所以△ADE是等腰三角形，所以AD=AE，DE=2AD=2.

因為AD=AE，AB=AC，∠DAC=90°+∠CAE=∠EAB，所以△ADC△AEB，所以BE=CD=3且∠AEB=∠ADC=45°，所以∠DEB=∠DEA+∠AEB=45°+45°=90°.

在△DEB中，由勾股定理有BD=DE2+EB2=2+9=11.

點評 本題的高中解法思路非常清晰，容易入手，計算量也不大.而初中解法的本質思路可以看成是基于△BAC是等腰直角三角形以及∠ADC=45°這種特殊條件，可以考慮將△ADC繞點A逆時針旋轉90°，得到△AEB，然后證明△DEB是直角三角形.事實上按照利用旋轉三角形解決幾何問題的思想＼[1＼]，本題還可以將△DAB繞點A順時針旋轉90°，后面解答過程類似.通過對比不難發現，高中解法強調的是通過代數角度尋找到邊與角之間的關系，是一種通法;初中解法雖然強調利用構建直角三角形通過勾股定理解決問題這種常規思路，但在此類并沒有直角三角形作為已知條件的問題中，往往需要一些添加輔助線的技巧，并且能使用這些技巧還需觀察到這個條件所具備的特殊性.正是因為這個原因，此題放在初中階段屬于難度較大的題目.

例4 如圖7，在正方形ABCD中，E，F分別是AB，AD上的點，且EF=DF+BE，求∠ECF的度數.

思路分析 從高中生思維出發，一看目標是求角就能自然想到利用余弦定理求∠ECF的余弦值，接下來就是把△ECF的三條邊表示出來，剩下的事情就是計算.

高中解法 不妨設正方形的邊長為1，DF=x，EB=y，因為EF=DF+BE，故有EF=x+y，在直角三角形AEF中由勾股定理有（x+y）2=（1-x）2+（1-y）2，化簡得x+y=1-xy，在△CEF中由余弦定理有cos∠ECF=（1+x2）+（1+y2）-（x+y）22（1+x2）（1+y2）=1-xy1+x2+y2+x2y2=1-xy1+（1-xy）2-2xy+x2y2=1-xy2（1-xy）2=22，所以∠ECF=45°.

從初中生的思維角度出發，考慮到既然此題可以讓初中生做，那么∠ECF的度數一定是特殊角，并且往往與已知條件的特殊角有關，結合圖象的直觀想象，容易猜想∠ECF=45°，然而如何真正求解出這個角來卻不容易想到.從目標出發，要證明∠ECF=45°可考慮證明∠ECF=∠ECB+∠DCF，而∠ECB與∠DCF并不是挨在一起，所以可以考慮將其中一個角旋轉到另一個角旁邊，合并成一個新的角，然后再證明這個新的角與∠ECF相等，此時又可能需要先證明兩個角所在的三角形全等.另外從已知的條件EF=DF+BE也可以猜測到需要將DF和EB轉到同一條線段上，這樣便得到新的兩邊相等的條件，然后同樣是考慮證明兩邊所在的三角形全等.結合目標所求和已有的特殊條件，將△CDF逆時針旋轉90°（或者將△CEB順時針旋轉90°）是破解此題的關鍵步驟.

初中解法 將△CDF繞點C逆時針旋轉90°得到△CBG，由旋轉的性質有∠CBG=90°，即有E、B、G三點共線，CF=CG，DF=BG，∠DCF=∠BCG.因為EF=DF+BE，所以EF=DF+BE=BG+BE=EG，又因為CE=CE，所以△CFE△CGE，所以∠ECF=∠ECG，又因為∠ECG=∠ECB+∠BCG=∠ECB+∠DCF，所以∠ECF=∠ECB+∠DCF，又因為∠ECF+∠ECB+∠DCF=90°，所以∠ECF=90°2=45°.

點評 初中解法需要較強的技巧和解題經驗，需要不斷總結題型及對應的解題“套路”，而高中解法容易想到方法，但計算和化簡的過程需要足夠的耐心.

例5 如圖9，∠MON=90°，矩形ABCD的頂點A、B分別在邊OM，ON上，當B在邊ON上運動時，A隨之在邊OM上運動，矩形ABCD的形狀保持不變，其中AB=2，BC=1，運動過程中，點D到點O的最大距離為

.

思路分析 對初中生來說，兩點之間的距離問題往往會轉化為跟固定長度的邊長作比較，從矩形ABCD的邊長比例可以發現取AB的中點E，則有△DAE是等腰直角三角形，另外還有EO是直角三角形AOB斜邊上的中線.

初中解法 取AB的中點E，連接OE、DE、OD，因為OD≤OE+ED，所以當O、D、E三點共線時，點D到點O的距離最大，因為AB=2，BC=1，點E是AB的中點，所以AE=12AB=1，由勾股定理可得：DE=AD2+AE2=2，因為∠MON=90°且E是AB的中點，所以OE=12AB=1，所以點D到點O的最大距離為2+1.

而對于高中生來說更加容易想到利用余弦定理來表示出DO的長度，然后通過函數的角度求最值.

高中解法 設∠OAB=θ，則OA=2cosθ，由余弦定理有DO2=（2cosθ）2+1-4cosθcos（θ+90°）=4cos2θ+1+4sinθcosθ=2（1+cos2θ）+1+2sin2θ=3+22sin（2θ+45°）≤3+22=（1+2）2，所以DO≤2+1，當且僅當θ=22.5°時等號成立.

點評 對于本題顯然是使用初中解法要簡單直觀，而使用高中解法的難點主要在于選取什么作為自變量，其次是表達出目標函數后求最值有些復雜，需要點耐心.

例6 如圖10，E為等邊△ABC內的一點，CE平分∠ACB，D為BC邊上的一點，且DE=CD，連接BE，取BE的中點P，連接AP，PD，AD，試判斷AP與PD的位置關系并求出AP與PD的數量關系.

思路分析 對于初中生來說，容易通過圖形猜想到∠APD=90°，注意到△ABC是等邊三角形，可以考慮嘗試將△ADC繞點A旋轉60°，得到新的圖形后問題就迎刃而解了.

初中解法 如圖11，將△ADC繞點A逆時針旋轉60°得到△AGB，連接PG.由旋轉的性質有GB=DC、GA=DA、∠GAD=60°、∠ABG=∠ACD，又因為△ABC是等邊三角形，所以∠ACD=∠BAC=60°，所以∠ABG=∠BAC，所以GB∥AC，由已知易得ED∥AC，所以GB∥ED，又因為GB=DC=ED，所以四邊形GBDE是平行四邊形，因為P是BE中點，所以PG=PD，又因為GA=DA，所以AP⊥PD，且有∠PAD=12∠GAD=30°，所以AP=3PD.

而對于高中生來說，最直接的思路是將AD、PD和AP表達出來，然后通過余弦定理來判斷AP與PD的數量關系.

高中解法 如圖12，延長CE交AB于G，連接GP.因為CE平分∠ACB，且△ABC是等邊三角形，所以CG⊥AB，且AG=GB.因為P是BE的中點，所以PG=PE=PB，不妨設AC=1、DC=a，因為∠ECD=30°且DE=CD，所以EC=3a.

在△ADC由余弦定理得AD2=1+a2-a，在△BEC中由余弦定理有BE2=（3a）2+1-23a·cos30°=3a2+1-3a，所以PB2=BE24=34a2-34a+14.

在△BDE中由中線性質有4PD2+4PB2=2a2+2（1-a）2，即有PD2=14a2-14a+14，在△ABP中由中線性質有4PG2+4（12）2=2PA2+2PB2，即有PA2=34a2-34a+34，故有PA2+PD2=AD2，即有AP⊥PD，又因為PA2=3PD2，所以AP=3PD.

解法點評 初中解法的思路巧妙但是難以想到，需要熟悉在特殊條件下應用旋轉三角形的方法（當然也可以直接構造全等三角形）.而高中解法的思路簡單，但要表達出三條邊來涉及到多個量，還要熟悉一些常見定理（不用這些定理會更繁瑣），整個解法綜合性強，計算量大.

3 幾點反思

3.1 中學數學教師要明晰自身對初高中幾何及學生解題思維差異的理解.

眾所周知，教材的編寫肯定是要符合學生不同年齡的思維發展水平的.大部分初中生的幾何思維基本還處于直觀、感性的認知階段，所以初中教材中的幾何內容介紹的都是最基本的幾何定理和性質，而且這些定理往往是特殊條件下才能成立的，比如勾股定理的應用需要直角三角形的條件.隨著學生思維水平的發展，高中的幾何知識部分融入了更多的代數知識，增強了知識應用的普適性，比如說在將銳角三角函數拓展到重新定義的三角函數的基礎上，勾股定理被推廣到了任意三角形都可以應用的余弦定理，并衍生出溝通邊、角和外接圓半徑關系的正弦定理.

對于幾何中的證明問題，初中生主要借助直觀思維和聯想思維來處理，比如說要證明兩條邊相等，可能就會在圖形中尋找有沒有兩個三角形看起來全等，如果感覺圖形不夠完整，還會考慮添加輔助線構造新的圖形.而高中生則因為學習了正余弦定理，對幾何圖形中邊與角的數量條件會有更多的關注，意圖從代數的角度將邊或角表達出來.

對于幾何中的計算問題，初中生往往只能借助于直角三角形的勾股定理、相似三角形以及旋轉三角形的性質，注重利用圖形的特殊性來解決問題.而高中生則習慣于借助正余弦定理通過代數（方程）的思想來表達和計算，不再過度考慮圖形條件是否特殊.從數學的思想方法層面來看，初中的解法往往基于特殊條件下利用特殊的定理和性質來解決問題，而高中的解法則更加注重利用通性通法去解決問題，當然初高中的解法差異主要是由于學習的內容層次不一樣和學生的思維水平不一樣決定的.

3.2 中學數學教師在幾何部分知識的教學中應著眼于學生的思維發展.

對于初中數學教師來說，部分優秀的初中生到了初三特別是中考復習時對初中幾何的解題方法應該是非常熟悉了，反復加以訓練固然可以提升解題的速度，但對于學生的思維水平來說并沒有得到提高，學習的興趣和好奇心也得不到激發，同時還浪費了寶貴的學習時間.筆者認為可以考慮對少數優生因材施教，將高中教材中的三角函數包括正余弦定理等知識提前講授或讓學生自學.由于這部分高中知識與初中知識關聯度大，理解難度較小，學習所需時間較短，因此這些知識對于優秀的初中生是可以接受的，并且可以讓學生的數學思想得到較大程度的提高.而對于高中數學教師來說，也應該注意到學生用慣了通過正余弦定理等高中方法來去處理幾何問題會產生思維定勢，結果碰到像前面提到的有些例題時會遭遇因變量復雜和計算繁瑣而難以為繼的窘境，因此在教學中應打破高中生僵硬的思維定勢，有針對性地選取一些初高中方法都可以做出來的題目，讓學生意識到面對具備特殊條件的幾何問題，應考慮嘗試應用初中的幾何方法，完善學生的數學思維，增強學生的應變能力.

參考文獻

[1] 鄧城.利用旋轉法妙解一類解三角形問題＼[J＼].中學教研（數學），2019（7）：23-25.

作者簡介 鄧城（1983—），男，一級教師，主要從事高中數學教學和研究工作.